3 svar
42 visningar
Lauralf är nöjd med hjälpen
Lauralf 61
Postad: 17 nov 2020 22:01

Population som ökar enligt y'=0,016y och nettoutvandringen är 0,25 miljoner/år, vilken ekvation?

Jag har en population som ökar enligt differentialekvationen y'=0,016y där t är tiden och nettoutvandringen är 0,25 miljoner/år. 

Då ställer man upp den som y' = 0,016y - 0,25

Varför kan jag då inte ställa upp lösningen som

y = 12e^0,016t - 0,25t ?

Kanske en dum fråga, men kan inte komma på vad det är jag missar.

Smutstvätt 16012 – Moderator
Postad: 17 nov 2020 22:25

Det är absolut inte en dum fråga! Vi provar att använda denna lösning och ser om det fungerar med kravet att y'=0,016y-0,25:

 

Om vi deriverar vårt y får vi: y'=0,016·12e0,016t-0,25. Vi kan nu sätta in detta i kravet:

0,016·12e0,016t-0,25=?0,016·12e0,016t-0,25t-0,250,016·12e0,016t-0,25=?0,016·12e0,016t-0,016·0,25t-0,25-0,25=?-0,016·0,25t-0,250-0,016·0,25t

Kort sagt: Ditt lösningsförslag stämmer inte. Ett sätt att notera detta på är att integrera båda led med avseende på t: 

y'dt=0,016y-0,25dty'dt=0,016y dt+0,25dty+C=0,016y dt+0,25t

Det mesta ser bra ut, allt förutom 0,016y dt. Vad är 0,016y dt? Vi vet inte vad integralen av y är. Därför fungerar det tyvärr inte. :(

Skaft 1913 – F.d. Moderator
Postad: 17 nov 2020 23:03

Du har fått ett ypperligt svar av Smutstvätt, men ett annat sätt att tänka på det:

Om du börjar med y=12e0.016t-0.25ty = 12e^{0.016t} - 0.25t och deriverar, får du:

y'=0.016·12e0.016t-0.25y' = 0.016\cdot 12e^{0.016t} - 0.25

Jag förstår din tanke här. Målet var att derivatan skulle bli 0.016 gånger det vi började med, och sen minus 0.25. Men, "det vi började med", alltså y, innehåller ju även termen 0.25t. Så för att matcha diffekvationen skulle 0.25t *också* behöva återuppstå i derivatan, och multipliceras med 0.016. Innan vi sen drar bort 0.25. Dvs, derivatan skulle behöva bli

y'=0.016·(12e0.016t-0.25t)-0.25y' = 0.016\cdot (12e^{0.016t} - 0.25t) - 0.25

för att ditt y skulle fungera. Problemet är alltså att bara exponentialfunktionen, inte hela y, multipliceras med 0.016 i din derivata.

Lauralf 61
Postad: 18 nov 2020 15:06

Tack, jag tror jag förstår!!! :)

Svara Avbryt
Close