Potensmängden till naturliga talen (diskret matematik)

Varför slog du inte upp det på Wikipedia själv?

Det är alla delmängder av de naturliga talen.

Om S = {1,2,3} så är P(S) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

2 upphöjt till, alltså 2^S, är något man skriver ibland i stället för P(S).
Det är för att antalet element i P(S) = 2^{antalet element i S}.

Okej jag ska omformulera min fråga för ni verkar inte ha läst hela min inledning utan bara rubriken. Jag har läst på wikipedia innan jag postar här men den besvarade inte mina funderingar i inledningen

Jag är med på vad potensmängden till en ändlig mängd är och man kan räkna ut dess storlek genom $2^{\left|n\right|}$där n är själva mängden

Detta är vad jag inte förstår:

• är $P\left(\mathrm{\mathbb{N}}\right)$alla delängder till de naturliga talen? Finns alltså allting som finns i de naturliga talen även med i P(N)?
• räknar man $2^{\infty }$för att beskriva storleken av denna?
• Vad är det för skillnad att skriva P(N) och bara samtliga element i N om de består av samma element?
• om jag väljer ett godtyckligt element A som tillhör P(N) så vet jag att det även ligger i de natruliga talen, jag kan alltså inte välja något tal som finns i P(N) men inte i N?

Svaren på några av dina punkter är samma som i det ändliga fallet.

"Består av samma element" gör de i någon mening, men i fallet potensmängd så är det elementen som i sin tur innehåller samma element som grundmängden.

Om du väljer ett godtyckligt element A som tillhör P(N) så ligger det inte i N. A är en mängd. Om den inte är tom innehåller den tal, och dessa tal ligger i N.

Och svaret på "är P(N) alla delmängder till de naturliga talen?" är ja, det definieras ju så.

Nu kan du själv svara på "Vad är det för skillnad att skriva P(N) och bara samtliga element i N om de består av samma element?"

Laguna skrev:

Svaren på några av dina punkter är samma som i det ändliga fallet.

"Består av samma element" gör de i någon mening, men i fallet potensmängd så är det elementen som i sin tur innehåller samma element som grundmängden.

Om du väljer ett godtyckligt element A som tillhör P(N) så ligger det inte i N. A är en mängd. Om den inte är tom innehåller den tal, och dessa tal ligger i N.

Och svaret på "är P(N) alla delmängder till de naturliga talen?" är ja, det definieras ju så.

Nu kan du själv svara på "Vad är det för skillnad att skriva P(N) och bara samtliga element i N om de består av samma element?"

P(N) är delmängder till N medan bara samtliga element i N bara är element ?

Det här med mängder och mängder av mängder kan vara lurigt, så det är inte alls konstigt om det känns lite förvirrande.

I det här fallet är $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ medan $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ mycket riktigt är mängden av alla delmängder av de naturliga talen. Det innebär att $\mathbb{N}$ och $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ är två helt olika mängder; den ena är en mängd av tal, medan den andra är en mängd av mängder.

Exempel på hur några element i potensmängden kan se ut:

$\varnothing\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (eftersom $\varnothing\subseteq \mathbb{N}$)

$\{5\}\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (eftersom $\{5\}\subseteq \mathbb{N}$)

$\{5,18,23\}\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (eftersom $\{5,18,23\}\subseteq \mathbb{N}$)

$\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (eftersom $\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}\subseteq \mathbb{N}$)

$\mathbb{N}\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (eftersom $\mathbb{N}\subseteq \mathbb{N}$).

Exempel på saker som inte ligger i potensmängden:

$5\not\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (5 är bara ett tal, inte en delmängd av $\mathbb{N}$)

$\{\pi,e,11\}\not\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (eftersom $\pi$ och $e$ inte är naturliga tal, vilket betyder att $\{\pi,e,11\}\not\subseteq \mathbb{N}$).

Värt att notera är också att $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ en väldigt stor mängd! Den är så stor att man kan visa, att det inte ens går att föreställa sig en numrering av elementen, vilket man kallar för att den är överuppräknelig. Ett annat sätt att uttrycka detta på är att $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ är "större" (har större kardinalitet) än $\mathbb{N}$.

Att som du var inne på säga att "$\,\!{|\mathcal{P}{(\mathbb{N})}|}=2^\infty$" makear inte jättemycket sense matematiskt. Men jag förstår att man gärna skulle vilja generalisera formeln $\,\!{|\mathcal{P}(S)|}=2^{|S|}$ som gäller för en ändlig mängd $S$. Det tycker mängdteoretikerna också, och därför har man anpassat notationen som man använder för att beskriva oändliga mängder, så att man exempelvis kan säga att  $\,\!{|\mathcal{P}(\mathbb{N})|}=2^{\aleph_0}$, där $\aleph_0$ (uttalas alef noll) är storleken på $\mathbb{N}$, vilket ju inte är helt långt ifrån ditt förslag!