5 svar
157 visningar
Wilar 191
Postad: 26 dec 2018 18:51

Potensserie

Hur kan det komma sig att potensserienn=0x2n2n-1 kan uttryckas som x2ln1+x1-x-1? Jag kan härleda den första termen, men -1 på slutet känns märkligt. Detta betyder ju att n=0x2n2n-1x0-1. Men borde inte seriens summa vara 0 då x =0?

SeriousCephalopod 2190
Postad: 26 dec 2018 18:52

n=0 termen i serien.

Albiki 5320
Postad: 26 dec 2018 21:57

Vill du utgå från potensserien och visa att den är lika med funktionen du angivit? Detta är ett svårt problem, särskilt med tanke på att det vanligtvis är knepigt att bestämma potensseriens konvergensområde och därmed funktionens definitionsmängd.

Wilar 191
Postad: 26 dec 2018 23:45
Albiki skrev:

Vill du utgå från potensserien och visa att den är lika med funktionen du angivit? Detta är ett svårt problem, särskilt med tanke på att det vanligtvis är knepigt att bestämma potensseriens konvergensområde och därmed funktionens definitionsmängd.

 Den ursprungliga uppgiften var att bestämma ett uttryck för serienn=0x2n+14n2-1. För att få ett enkla uttryck deriverade jag serien termvis tre gånger och erhölln=02n·x2n-2 =2(1-x2)2. Sedan integrerade jag högerledet tre gånger och får ett korrekt svar (om jag sätter min andra integrationskonstant som -1). 

tomast80 3595
Postad: 27 dec 2018 11:38

Förslag på lösning nedan:

SeriousCephalopod 2190
Postad: 27 dec 2018 14:46 Redigerad: 27 dec 2018 14:51

Det här är ett sånt där fall där att man känner till svaret förenklar beviset. Alternativ härledningsmetod:

Om man redan accepterar standardserien

ln(1+x)=k=1(-1)k+1xkk\ln(1 + x) = \sum_{k = 1}(-1)^{k + 1}\frac{x^k}{k}

samt den komplementära

ln(1-x)=k=1(-1)2k+1xkk\ln(1 - x) = \sum_{k = 1}(-1)^{2k + 1}\frac{x^k}{k}

och därmed

ln1+x1-x=ln(1+x)-ln(1-x)=k=1[(-1)k+1-(-1)2k+1]xkk

Där de två (-1)-termerna inte tar ut varandra endast om k är ett udda tal k = 2n - 1 i vilket fall båda termerna är 1 och vi får

ln1+x1-x=2n=1x2n-12n-1\ln \frac{1 + x}{1 - x} = 2 \sum_{n = 1}\frac{x^{2n - 1}}{2n - 1}

Från vilket vi får göra två sista manipulationer för att bryta ut den avsedda serien:

ln1+x1-x=2x(n=0x2n2n-1+1)\ln \frac{1 + x}{1 - x} = \frac{2}{x}( \sum_{n = 0}\frac{x^{2n}}{2n - 1} + 1)

Därefter är det bara fråga om en algebraisk omskrivning. 

(Förutsätter att x är sådant att vi kan strunta i absolutbelopp)

Svara Avbryt
Close