Potensserielösning till differentialekvationen

Fråga:
Använd metoden med potensserier för att lösa differentialekvationen

$(x - 1) y ´ (x) + y (x) = 0$ med begynnelsevillkoret y(1/2) = 1.

Har begynnelsevärdesproblemet

$(x - 1) y ´ (x) + y (x) = 0, y (1) = 17$

någon lösning som ges av en potensserie som konvergerar i en omgivning av x = 1?

Min ide är:

$y = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k}, h ä r y (1 / 2) = 17 d ä r f ö r ä r a_{0} = 17 o c h y (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k} .$

Jag fick efter beräkningen

$a_{0} = a_{1} = 17, o c h a_{k + 1} = a_{k}, k = 1, 2, 3, . . . .$

Svaret blir $y (x) = \sum_{K = 0}^{\infty} 17 {(x - \frac{1}{2})}^{k} .$

Men jag har räknat DE som vanligt sätt, då blir

$y = \frac{- 17}{2 (x - 1)} .$

Därför är jag osäker. Kan någon hjälpa mig att gå vidare.

Tack förhand!

Bump

Var kommer y(1) = 17 ifrån? Din lösning y är inte definierad för x = 1.

Laguna skrev:
Var kommer y(1) = 17 ifrån? Din lösning y är inte definierad för x = 1.

Hej,

Jag har klarat den här uppgiften, tack.

Kan du dela med dig av lösningen, har en liknande uppgift som jag fastnat på.

Setew skrev:
Kan du dela med dig av lösningen, har en liknande uppgift som jag fastnat på.

$S ä t t y (x) = \sum_{K = 0}^{\infty} a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k} . D å ä r y' (x) = \sum_{K = 1}^{\infty} k a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k - 1} . V i k a n s k r i v a (x - 1) y ´ (x) + y (x) = 0 \Leftrightarrow (x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) y ´ (x) + y (x) = 0 I n s a t t g e r d e t t a a t t 0 = (x - 1 / 2) \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k - 1} - (1 / 2) \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k - 1} + \sum_{K = 0}^{\infty} a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k} = = \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k} - \frac{1}{2} (a_{1} + \sum_{k = 1}^{\infty} (k + 1) a_{k + 1} {(x - \frac{1}{2})}^{k}) + (a_{0} + \sum_{K = 1}^{\infty} a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k}) \Leftrightarrow$

Enligt teori $a_{0} - \frac{1}{2} a_{k} = 0 \Leftrightarrow a_{k} = 2 a_{0}$

$(k + 1) a_{k} - \frac{1}{2} (k + 1) a_{k + 1} = 0 \Leftrightarrow a_{k + 1} = 2 a_{k} . a_{0} = 17 g e r a t t a_{k} = 17 \cdot 2^{k} D å y (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} {(x - \frac{1}{2})}^{k} = 17 \sum_{k = 0}^{\infty} {(2 x - 1)}^{k} = \frac{17}{2 - 2 x .}$

Vi kan göra det på annat sätt också, dvs.

$y (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} x^{k} = a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} x^{k}, y ´ (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} k a_{k} x^{k - 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) a_{k + 1} x^{k} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{\infty} (k + 1) a_{k + 1} x^{k},$

Insättning ger efter beräkning

$x y ´ - y ´ + y = 0 \Rightarrow y (x) = a_{0} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}$

om vi använder y(1/2) =17 får vi $a_{0} = \frac{17}{2} .$

Då svaret blir samma som ovanstående.

Tack!

Hej! Tack för att du delar med dig av lösningen. Vad menar du med "enligt teori" ?

Sixten187 skrev:
Hej! Tack för att du delar med dig av lösningen. Vad menar du med "enligt teori" ?

Svara

Visa senaste svar