2 svar
71 visningar
rohanzyli 158
Postad: 16 apr 2018

Potensserier

Hej!

Är ganska ny inom detta ämne i envariabelanalysen, så behöver hjälp på en uppgift!

"För vilka reella tal x är följande serier konvergenta?"

k=1e1k-1xk

Går inte riktigt bra med rot eller kvotkriteriet tycker jag, kan visa hur jag gjorde med kvotkriteriet:

e1k+1-1xk+1e1k-1xk=e-1k(k+1)-1x-1ex då kså) -xe<1, dvs -x<e,alla uttryck ska vara i absolutbelopp. glömde det

Detta är fel, konvergensområdet ska vara -1x<1. Rotkriterier gick inte heller bra, så vad kan jag göra och vad har jag gjort fel?

Affe Jkpg 2778
Postad: 16 apr 2018 Redigerad: 16 apr 2018

Händer det något trevligt om man analyserar en integral som delvis motsvarar summaserien?

tarkovsky123_2 174
Postad: 11 jun 2018 Redigerad: 11 jun 2018

Hej! Här är ett lösningsförslag till uppgiften (trots att tråden nu är relativt gammal).

Låt ak=e1k-1. Vi har att potensserien ak konvergerar (absolut) för de x inom dess konvergensradie.

Vi vet att konvergensradien R uppfyller 1R=limksup akk.

 

Efter taylorutveckling kring t=0 fås att e1k-1=1k+O(1k2) och speciellt gäller alltså att e1k-1k=1k+O(1k2)k=1k1k1+O(1k)1k=1elnkkeln(1+O(1k))k1, k. Konvergensradien är alltså R=1 och vår potensserie konvergerar absolut x(-1,1).

Fixera nu x=1 och studera serien k=1e1k-1=k=11k+O(1k2) och låt bk=1k+O(1k2). Låt sedan ck=1k s.a. k=1ck divergerar. Notera att bk 0 och ck >0 k, dvs vi har två positiva serier bestående av b_k och c_k. Det gäller då att bkck=k1k+O(1k2)=1+O(1k) 1>0, k vilket ger enligt jämförelsekriteriet (på gränsvärdesform) att bk divergerar.

 

Fixera sedan x=-1 och studera (den alternerande) serien k=1-1ke1k-1 där precis som förut bk=e1k-1. Vi har nu att bk =bk är avtagande för växande k, och dessutom att bk  0, k . Då ger Leibniz kriterium att serien är konvergent.

 

Alltså konvergerar vår potensserie x[-1,1).

Svara Avbryt
Close