Potensuppgift klurig

En potensuppgift som jag fastnat på och som jag är osäker på vilken regel jag ska tillämpa.

Uppgiften:

Förenkla

$(a^{2} b^{3} c^{4})^{2}$

Först tänkte jag att man kan tillämpa regeln:

$(a \cdot b)^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$

då tänkte jag att man upphöjer baserna a och b till exponenten x? $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$ tänkte att jag kanske kunde använda också, men där har vi ju bara en bas. Hur jag än vänder och vrider på det kommer jag inte fram till rätt svar, hur ska man börja med denna uppgift? Enligt facit är rätt svar: $a^{2} b^{6} c^{8}$

Jag kom fram till det felaktiga svaret: $a^{4} b^{6} c^{8}$

Jag tänkte att man skulle lösa uppgiften genom att: $(a^{2} b^{3} c^{4})^{2} = (a^{2 * 2}) \cdot (b^{3 \cdot 2}) \cdot (c^{4 \cdot 2}) = a^{4} b^{6} c^{8}$

Det är rätt som du har tänkt. Facit har fel. Ett sätt att kontrollera detta på (om man har tillgång till miniräknare) är att sätta in några olika värden på a, b och c:

a = 2

b = 3

c = 4

${(2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 4^{4})}^{2} = {(4 \cdot 27 \cdot 256)}^{2} = (27648)^{2} = 764411904$

$2^{2} \cdot 3^{6} \cdot 4^{8} = 191102976$

Var försiktig med att dra slutsatsen "förenklingen stämmer", om du inte provat med flertalet olika sorters tal (positiva, negativa, bråktal, etc.), men om det för någon uppsättning tal (som ingår i def.mängden) inte stämmer, kan du direkt dra slutsatsen att förenklingen är fel. Facit ska vara $a^{4} b^{6} c^{8}$ .

Om man är osäker på en potenslag är det ofta en god idé att gå tillbaka till definitionen av potenser, som säger att potenser helt enkelt är "upprepad multiplikation" (se exempelvis den här artikeln):

Detta betyder att

$(a^2b^3c^4)^2=(aa\cdot bbb\cdot cccc)(aa\cdot bbb\cdot cccc)\,.$

Eftersom ordningen inte spelar någon roll vid multiplikation kan vi "samla ihop" a:na för sig, b:na för sig och c:na för sig, så här:

$(aa\cdot bbb\cdot cccc)(aa\cdot bbb\cdot cccc)=aaaa\cdot bbbbbb\cdot cccccccc=a^4b^6c^8\,,$

vilket bekräftar att du har rätt!

För säkerhets skull kan man även kolla med Wolfram Alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(a%5E2b%5E3c%5E4)%5E2

som också håller med om att du har rätt!

Men lite övning kan du göra den här typen av "översättning" från potenser till upprepad multiplikation i huvudet, så att man slipper lägga tid på att skriva ner beräkningarna på exv. högskoleprovet. Betydligt mer fool proof än att bara memorera potenslagar utantill! :)

oggih skrev:
Om man är osäker på en potenslag är det ofta en god idé att gå tillbaka till definitionen av potenser, som säger att potenser helt enkelt är "upprepad multiplikation" (se exempelvis den här artikeln):
Detta betyder att
$(a^2b^3c^4)^2=(aa\cdot bbb\cdot cccc)(aa\cdot bbb\cdot cccc)\,.$
Eftersom ordningen inte spelar någon roll vid multiplikation kan vi "samla ihop" a:na för sig, b:na för sig och c:na för sig, så här:
$(aa\cdot bbb\cdot cccc)(aa\cdot bbb\cdot cccc)=aaaa\cdot bbbbbb\cdot cccccccc=a^4b^6c^8\,,$
vilket bekräftar att du har rätt!
För säkerhets skull kan man även kolla med Wolfram Alpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(a%5E2b%5E3c%5E4)%5E2
som också håller med om att du har rätt!
Men lite övning kan du göra den här typen av "översättning" från potenser till upprepad multiplikation i huvudet, så att man slipper lägga tid på att skriva ner beräkningarna på exv. högskoleprovet. Betydligt mer fool proof än att bara memorera potenslagar utantill! :)

Då tänker jag att eftersom det är en upprepad multiplikation, uttrycket är upphöjt till 2 (dvs uttrycket är multiplicerat sig självt 2 gånger):

${(a^{2} b^{3} c^{4})}^{2} = (a^{2} b^{3} c^{4}) \cdot (a^{2} b^{3} c^{4}) = a^{2 + 2} b^{3 + 3} c^{4 + 4} = a^{4} b^{6} c^{8}$

Det blev lättare att se vad rätt svar ska vara när man ställde upp enligt ovan. Dock håller jag med dig om att det är tidsslöseri att ställa upp prydligt på HP.

Visst! Där har vi ännu ett sätt att resonera kring den här uppgiften! :)

Svara Avbryt

Visa senaste svar