Potentialfält i R^3

Nej, det räcker inte, du måste också säga något om området. Och 3 dimensioner är lite krångligare än två, t.ex. kan man ha en singularitet i enskild punkt, och ändå ha ett område som är enkelt sammanhängande.

Ett område $\Omega$ kallas enkelt sammanhängande om varje sluten kurva i $\Omega$  är en randkurva till en yta helt inom $\Omega$.

Notera att villkoret i din text säger "Nödvändigt" vilket inte är samma sak som "tillräckligt"

Jroth skrev:

Nej, det räcker inte, du måste också säga något om området. Och 3 dimensioner är lite krångligare än två, t.ex. kan man ha en singularitet i enskild punkt, och ändå ha ett område som är enkelt sammanhängande.

Ett område $\Omega$ kallas enkelt sammanhängande om varje sluten kurva i $\Omega$  är en randkurva till en yta helt inom $\Omega$.

Notera att villkoret i din text säger "Nödvändigt" vilket inte är samma sak som "tillräckligt"

Så hur hade man löst denna då på smidigast sätt?

Man kan säga så här:

Om vektorfältet $\mathbf{F}$ är virvelfritt (dvs $\nabla\times \mathbf{F}=0$) i ett öppet enkelt sammanhängande område $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$ så har $\mathbf{F}$ en potential på $\Omega$.

Det nödvändiga villkoret $\nabla\times \mathbf{F}=0$ är samma sak som villkoret för de rödmarkerade partiella derivatorna ovan.

Jroth skrev:

Man kan säga så här:

Om vektorfältet $\mathbf{F}$ är virvelfritt (dvs $\nabla\times \mathbf{F}=0$) i ett öppet enkelt sammanhängande område $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$ så har $\mathbf{F}$ en potential på $\Omega$.

Det nödvändiga villkoret $\nabla\times \mathbf{F}=0$ är samma sak som villkoret för de rödmarkerade partiella derivatorna ovan.

Så då ska jag kolla respektive partiella derivata?

Sedan bara substituera in respektive punkt och subtrahera?

Du måste skriva något om att det finns ett öppet enkelt sammanhängande område $\Omega$ som innehåller integrationskurvan samt att integranderna (fältkomponenterna) är kontinuerligt deriverbara i $\Omega$. Eftersom vektorfältet är virvelfritt blir kurvintegralen oberoende av vägen och vi kan dessutom skapa en potentialfunktion $U$ enligt

$U(x,y,z)=x^2y^2z + x^2yz^2 + xy^2z^2$

Sedan är det bara att sätta in punkterna och utvärdera integralen.

Om du glömmer bort att kontrollera förutsättningarna (villkoren på området $\Omega$, villkoren på fältet, eller att derivatorna är lika, dvs fältet är virvelfritt) har du bara gjort halva uppgiften.

Jroth skrev:

Du måste skriva något om att det finns ett öppet enkelt sammanhängande område $\Omega$ som innehåller integrationskurvan samt att integranderna (fältkomponenterna) är kontinuerligt deriverbara i $\Omega$. Eftersom vektorfältet är virvelfritt blir kurvintegralen oberoende av vägen och vi kan dessutom skapa en potentialfunktion $U$ enligt

$U(x,y,z)=x^2y^2z + x^2yz^2 + xy^2z^2$

Sedan är det bara att sätta in punkterna och utvärdera integralen.

Om du glömmer bort att kontrollera förutsättningarna (villkoren på området $\Omega$, villkoren på fältet, eller att derivatorna är lika, dvs fältet är virvelfritt) har du bara gjort halva uppgiften.

Men försöker förstå här, jag gör

sen ska jag ju hitta fi(z,y) , fi(z,x) och fi(y,x) så att allt det där matchar med varann, men hur ska man göra det??