13 svar
104 visningar
mrlill_ludde är nöjd med hjälpen!
mrlill_ludde 1061
Postad: 29 maj 2019

POtentialfunktioer

B upppgf..

försöker lösa den på samma sätt som denna:

 

jag gör såhär:

 

Men vad är fel :S

Laguna 6069
Postad: 29 maj 2019

Integrera P dx och Q dy, inte deras derivator. 

mrlill_ludde 1061
Postad: 29 maj 2019 Redigerad: 29 maj 2019
Laguna skrev:

Integrera P dx och Q dy, inte deras derivator. 

MEn svaret är 5x22+y2+12\frac{5x^2}{2} + y^2 + \frac{1}{2}

Hur?

AlvinB 3338
Postad: 29 maj 2019

Du glömmer att när du integrerar ekvationen φ'(y)=2y\varphi'(y)=2y får du även en konstant CC, d.v.s. φ(y)=y2+C\varphi(y)=y^2+C.

Denna konstant kan du bestämma med hjälp av villkoret U(1,1)=4U(1,1)=4.

mrlill_ludde 1061
Postad: 29 maj 2019
AlvinB skrev:

Du glömmer att när du integrerar ekvationen φ'(y)=2y\varphi'(y)=2y får du även en konstant CC, d.v.s. φ(y)=y2+C\varphi(y)=y^2+C.

Denna konstant kan du bestämma med hjälp av villkoret U(1,1)=4U(1,1)=4.

Men trodde man alltid satte integrationskonstanen till 0?

AlvinB 3338
Postad: 29 maj 2019 Redigerad: 29 maj 2019

Om man använder potentialfunktionen för att beräkna en kurvintegral sätter man konstanten till noll för enkelhetens skull (eftersom integrationskonstanterna tar ut varandra i subtraktionen), men nu har vi ju ett villkor som potentialfunktionen skall uppfylla. Då måste vi räkna fram ett värde på konstanten.

Jämför med envariabelfallet. När vi tar fram en primitiv funktion för att beräkna en integral sätter vi konstanten till noll för enkelhetens skull, men om vi har ett villkor, t.ex. att y(0)=1y(0)=1, måste vi räkna fram ett värde på konstanten.

mrlill_ludde 1061
Postad: 30 maj 2019
AlvinB skrev:

Om man använder potentialfunktionen för att beräkna en kurvintegral sätter man konstanten till noll för enkelhetens skull (eftersom integrationskonstanterna tar ut varandra i subtraktionen), men nu har vi ju ett villkor som potentialfunktionen skall uppfylla. Då måste vi räkna fram ett värde på konstanten.

Jämför med envariabelfallet. När vi tar fram en primitiv funktion för att beräkna en integral sätter vi konstanten till noll för enkelhetens skull, men om vi har ett villkor, t.ex. att y(0)=1y(0)=1, måste vi räkna fram ett värde på konstanten.

Men ändock.. svaret ska ju fortf bli det jag skrev, utan det villkoret...

Aerius 191
Postad: 30 maj 2019

På tredje raden har du skrivit just

5x25.

Hur kunde det bli

5xy

på sista raden?

parveln 311
Postad: 30 maj 2019

Man sätter bara integrationskonstanten till 0 om man vill räkna ut en bestämd integral. Nu är uppgiften att finna en potential som uppfyller ett visst villkor, inte att räkna ut en integral och då är det givetvis felaktigt att svara med en potential som inte uppfyller villkoret.

Albiki 4228
Postad: 30 maj 2019

Hej!

  • Vektorfältet FF (och inte vektor fältet, som läraren skriver) är ett potentialfält om rotationen ×F\nabla \times F är lika med nollvektorn över hela vektorfältets definitionsmängd. 

Beräkna rotationen och undersök om den verkligen är lika med nollvektorn överallt. 

  • Om FF verkligen är ett potentialfält så finns det ett skalärfält U:2U : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} sådant att dess gradientfält är just det givna vektorfältet det vill säga U=F\nabla U = F.

Det betyder att

    Ux=F1(x,y)\frac{\partial U}{\partial x} = F_1(x,y) och Uy=F2(x,y)\frac{\partial U}{\partial y} = F_2(x,y)

där F1(x,y)=5xyF_1(x,y)=5xy och F2(x,y)=2y+2.5x2F_2(x,y)=2y+2.5x^2.

Albiki 4228
Postad: 30 maj 2019
  • Den första ekvationen medför att U(x,y)=2.5x2y+g(y)U(x,y) = 2.5x^2y+g(y) där g:g : \mathbb{R}\to\mathbb{R} är en godtycklig deriverbar funktion.
  • Den andra ekvationen medför att g'(y)=2yg'(y)=2y vilket betyder att g(y)=y2+Cg(y) = y^2+C där CC betecknar en godtycklig konstant.

Om FF verkligen är ett potentialfält så är dess associerade potentialer funktionerna

    U(x,y)=2.5x2y+y2+CU(x,y)=2.5x^2y+y^2+C

och av dessa är det bara funktionen

    U(x,y)=2.5x2y+y2+0.5U(x,y)=2.5x^2y+y^2+0.5, där (x,y)2(x,y)\in\mathbb{R}^2,

som uppfyller kravet U(1,1)=4.U(1,1)=4.

mrlill_ludde 1061
Postad: 31 maj 2019
Aerius skrev:

På tredje raden har du skrivit just

5x25.

Hur kunde det bli

5xy

på sista raden?

Ja jag vet inte om 

dU/dx = xy
dU/dy = 5x^2/2 + 2y

och jag väljer att integrera på dU/dx först, är det det som bir slutgiltiga svaret?

Laguna 6069
Postad: 31 maj 2019
mrlill_ludde skrev:
Aerius skrev:

På tredje raden har du skrivit just

5x25.

Hur kunde det bli

5xy

på sista raden?

Ja jag vet inte om 

dU/dx = xy
dU/dy = 5x^2/2 + 2y

och jag väljer att integrera på dU/dx först, är det det som bir slutgiltiga svaret?

Jag förstår inte vad du skriver. Om ordningen: det spelar ingen roll vilket uttryck du integrerar först. 

AlvinB 3338
Postad: 31 maj 2019 Redigerad: 31 maj 2019

Poängen är ju att när du integrerar derivatan av UU får du ett uttryck för UU.

Du får alltså:

U=Ux dxU=\displaystyle\int\frac{\partial U}{\partial x}\ dx

U=5x2y2+φyU=\dfrac{5x^2y}{2}+\varphi\left(y\right)

När du sedan bestämt att φ(y)=y2+1/2\varphi(y)=y^2+1/2 är det bara att sätta in detta i uttrycket du får fick fram när du integrerade xx-derivatan:

U=5x2y2+y2+12U=\dfrac{5x^2y}{2}+y^2+\dfrac{1}{2}

Svara Avbryt
Close