Potentialfunktion

Fältet F = (F1, F2) är konservativt om x-derivatan av y-komponenten är lika med y-derivatan av x- komponenten, d.v.s

dF2/dx =dF1/dy

okej så x-derivatan av y-komponenten blir väl x-derivatan av $-3xy,y^3-3x^{2}y$ vilket borde blir $-3y,y^3-6xy$ och y-derivatan av x-komponenten  $x^3-3xy-3x^{2}y$ borde bli $-3x,-3x^2$

y-komponenten av fältet är $y^3 - 3x^{2}y$. x-derivatan av detta är -6xy (derivatan av en konstant som $y^3$ är ju 0).

Vad är x-komponenten och y-derivatan av denna?

x-komponenten borde väl bli $x^3-3xy,-3x^{2}y$ och y derivatan för den blir $-3x-3x^2$

Det jag kallar F1 är här

$F_1=x^3-3xy$

Vad är derivatan av detta m.a.p y?

det borde väl bli -3x

Ja, precis. Är fältet då konservativt? 

jag förstår ju att det blir -3x men jag trodde att fältet är konservativt om x och y derivatan är samma. Vi hade väl x-derivatan av y-fältet som -6xy och y-derivatan av x-fältet som -3x vilket ju inte är samma, så betyder det då att fältet inte är konservativt?

Precis, som det står så är inte fältet konservativt.

Hur hade det blivit om man istället hade haft

$F_1=x^3-3x{y}^2$

och

$F_2=y^3-3x^{2}y$

?

då hade väl fältet varit konservativt eftersom både F1 och F2 har samma exponenter och blir lika.

Jag förstår nu hur man kan se om fältet är konservativt eller inte för i b uppgiften har dom ändrat och satt dit y^2 och då ser jag ju att fältet blir konservativt:

$(x^3-3x{y}^2,y^3-3x^{2}y)$

Dock återstår det att bestämma en potentialfunktion U

Jag börjar med att sätta

$\begin{array}{c}\frac{dU}{dx}=x^3-3x{y}^2\\ \frac{dU}{dy}=y^3-3x^{2}y\end{array}$

sen börjar jag att integrera du/dx med avseende på x och får $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2$ och sedan likadant med du/dy $\frac{1}{4}{y}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2$

Jag hade det nästan på känn :)

Då vet vi att det finns en potential $\varphi$ så att

$\nabla \varphi =\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)$

ska vara samma sak som

$\mathit{F}=\left(F_1,F_2\right)$

Vad får du om du integrerar F1 m.a.p x?

Valet av minustecken i sambandet mellan ett vecktorfält $\mathbf{F}$ och dess potential $\mathbf{F}=-\nabla \phi$ är bara en ren konvention utan reell betydelse för den allmänna giltigheten. Men det kan vara värt att känna till hur man brukar göra när man jämför sina resultat med facit eller tänker publicera något. Det är också ett sätt att markera var man hör hemma i fysiker/matematiker kampen.

Dr. G skrev :

Jag hade det nästan på känn :)

Då vet vi att det finns en potential $\varphi$ så att

$\nabla \varphi =\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)$

ska vara samma sak som

$\mathit{F}=\left(F_1,F_2\right)$

Vad får du om du integrerar F1 m.a.p x?

blir det inte F1=$x^3-3x{y}^2=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2$

svaret ska bli $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2+\frac{1}{4}{y}^{4+C}$ jag har ju redan $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2$ 

Du glömmer integrationskonstanten, som här är en funktion av y. Derivera m.a.p y så vet du vad det ska bli. 

jag ser ju att $\frac{1}{4}{y}^4$ kommer av $y^3$ så man ska väl integrera något m.a.p y dvs integrera y^3 men jag har ju aldrig y^3 själv utan det är ju F2=$y^3-3x^{2}y$

Det jag har svårt med är hur jag ska derivera något m.a.p.y och bara få $\frac{1}{4}{y}^4$ och inte $\frac{1}{4}{y}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2$ eftersom allt jag har kvar för at få till svaret är ju 1/4y^4 +c

Om du räknar ut dU/dx och dU/dy för det uttryck som svaret ger ser du att det stämmer.

deriverar jag dU/dx får jag $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2$ och från dU/dy får jag $\frac{1}{4}{y}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2$

jag är tyvärr fortfarande osäker på hur jag får dit enbart 1/4y^4 från du/dy för att få svaret att stämma.

Jag ska ju tillslut få $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2+\frac{1}{4}{y}^4+C$

Jag har nästan löst det men är fast på sista steget.

du/dx= $x^3-3x{y}^2$

du/dy= $y^3-3x^{2}y$

Sedan integrerade jag du/dx m.a.p.x = $\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2{y}^2+\phi \left(y\right)$ sedan deriverade jag m.a.p y = $\frac{1}{4}{x}^4-3x^{2}y+\phi ´\left(y\right)$

sedan jämför jag $\frac{1}{4}{x}^4-3x^{2}y+\varphi ´\left(y\right)=y^3-3x^{2}y$

Jag ser ju att vi har $-3x^{2}y$ på båda sidor, men det jag inte förstår är att för att båda sidor ska vara lika har vi ju 1/4x^4 bara på ena sidan och 1/4y^4 på andra.

Du har

Dessa två uttryck skall gälla samtidigt! Alltså  är

$\begin{array}{lcr} \frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2y^2+f(y)&=& \frac{1}{4}y^4-\frac{3}{2}x^2y^2+g(x) \end{array}$

$\frac{1}{4}x^4+f(y)= \frac{1}{4}y^4+g(x)$

vars enda lösning är

med en godtycklig konstant C. Alltså är potentialen

$U(x,y)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{4}y^4-\frac{3}{2}x^2y^2+C$

Edit: ledsen  för trasiga bildlänkar men det är bättre än "Error converting from LaTeX to MathML"

Okej, nu förstår jag, tack så mycket för hjälpen