Problem med Algebra som borde vara löst sedan länge...

Hej!

Jag visar hur man kan hantera differenskvoten för funktionen $f(x) = \sqrt{x}.$

Låt $x$ och $h$ vara positiva tal. Genom att förlänga med konjugatuttrycket kan man skriva

    $\displaystyle f(x+h) - f(x) = \frac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.$

Om $h$ är ett mycket mindre tal än $x$ så är $x+h \approx x$ och det följer att

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Det du har gjort är att visa påståendet m h a deriveringsregler. Det Albiki försöker* göra är att visa påståendet m h a derivatans definition, vilket man inte frågat efter.

* skriver "försöker" p g a "Error converting from LaTex to MathML".

Jag såg att det inte efterfrågas men jag borde kunna det från matte 3 och jag kommer inte på.

Och jag förstår inte än vad Alibiki har förklart (lite choklad/kaffe på det behövs)

Hej,

kan de vara så att de vill att du ska använda kvotregeln för att ta fram derivatan?

$\frac{f\text{'}\left(x\right)}{g\text{'}\left(x\right)}=\frac{f\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right)-f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)}{\left(g\right(x){)}^2}$, där $g\text{'}\left(x\right) \ne 0$ eller är det meningen att du ska använda derivatans definition?

Daja skrev :

Jag såg att det inte efterfrågas men jag borde kunna det från matte 3 och jag kommer inte på.

Och jag förstår inte än vad Alibiki har förklart (lite choklad/kaffe på det behövs)

Om man vill göra det från derivatans definition så använder man att

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x + h}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}}{h}=\frac{\sqrt{x}{\displaystyle -}{\displaystyle \sqrt{x + h}}}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}}=\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h})(\sqrt{x}+\sqrt{x + h})}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}(\sqrt{x}+\sqrt{x + h})} \\ =\frac{x - x - h}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}(\sqrt{x} + \sqrt{x + h})}=-\frac{1}{x\sqrt{x + h} + \sqrt{x}(x + h)} \end{gathered}$$

Låter man nu h gå mot noll så får man att gränsvärdet blir $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Minounderstand skrev :

Hej,

kan de vara så att de vill att du ska använda kvotregeln för att ta fram derivatan?

$\frac{f\text{'}\left(x\right)}{g\text{'}\left(x\right)}=\frac{f\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right)-f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)}{\left(g\right(x){)}^2}$, där $g\text{'}\left(x\right) \ne 0$ eller är det meningen att du ska använda derivatans definition?

Hej!

Isf vet jag inte hur jag skulle kunna använda kvotregeln för f(x)=$\sqrt{x}$, jag har bara en funktion? Eller?

Stokastisk skrev :

Daja skrev :

Jag såg att det inte efterfrågas men jag borde kunna det från matte 3 och jag kommer inte på.

Och jag förstår inte än vad Alibiki har förklart (lite choklad/kaffe på det behövs)

Om man vill göra det från derivatans definition så använder man att

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x + h}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}}{h}=\frac{\sqrt{x}{\displaystyle -}{\displaystyle \sqrt{x + h}}}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}}=\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h})(\sqrt{x}+\sqrt{x + h})}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}(\sqrt{x}+\sqrt{x + h})} \\ =\frac{x - x - h}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}(\sqrt{x} + \sqrt{x + h})}=-\frac{1}{x\sqrt{x + h} + \sqrt{x}(x + h)} \end{gathered}$$

Låter man nu h gå mot noll så får man att gränsvärdet blir $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Ah, smart, en kan förlänga också!

Men jag verkar inte kunna förkorta där nere!

$$\begin{gathered} \frac{x - x - h}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h} *\sqrt{x}+ h\sqrt{x}\sqrt{x + h}*\sqrt{x+h}}= \\ \frac{x - x - h}{h*x*\sqrt{x+h} + h*\sqrt{x}*(x+h)} \end{gathered}$$

Vad händer efter mellan steg 4 och 5?

Om man skriver ut fler steg så får man

$$\begin{gathered} \frac{x - x - h}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}\sqrt{x}+h\sqrt{x}\sqrt{x + h}\sqrt{x + h}}= \\ \frac{-h}{hx\sqrt{x + h}+ h\sqrt{x}(x + h)}= \\ \frac{-h}{h(x\sqrt{x + h} + \sqrt{x}(x + h\left)\right)}= \\ \frac{-1}{x\sqrt{x + h}+\sqrt{x}(x + h)} \end{gathered}$$

Hej!

 Med Kvotregeln blir derivatan för funktionen $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ lika med funktionen

    $\displaystyle f'(x) = \frac{0\cdot \sqrt{x}-1\cdot(\sqrt{x})'}{x} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

Albiki

Hej!

Med Kedjeregeln blir derivatan av den sammansatta funktionen

    $\displaystyle g(h(x)) = \sqrt{h(x)} = \sqrt{\frac{1}{x}}$

lika med

    $\displaystyle g'(h(x))\cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{h(x)}}\cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{2x^2/\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

Albiki

Daja skrev :

Minounderstand skrev :

Hej,

kan de vara så att de vill att du ska använda kvotregeln för att ta fram derivatan?

$\frac{f\text{'}\left(x\right)}{g\text{'}\left(x\right)}=\frac{f\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right)-f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)}{\left(g\right(x){)}^2}$, där $g\text{'}\left(x\right) \ne 0$ eller är det meningen att du ska använda derivatans definition?

Hej!

Isf vet jag inte hur jag skulle kunna använda kvotregeln för f(x)=$\sqrt{x}$, jag har bara en funktion? Eller?

Jodå, precis som Albiki skriver så blir $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=1\\ f\text{'}\left(x\right)=0\end{array}\right.$.
Kvotregeln går att använda i de fall där funktionen i nämnaren är nollskild, vilket gäller i detta fall ty: $g\left(x\right)=\sqrt{x}$ som är nollskild för alla $x>0$

Råkade skriva att $g\text{'}\left(x\right)$ måste vara nollskild innan, men det är  $g\left(x\right)$  som måste vara nollskild för att derivatan skall vara definierad.

Stokastisk skrev :

Om man skriver ut fler steg så får man

$$\begin{gathered} \frac{x - x - h}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}\sqrt{x}+h\sqrt{x}\sqrt{x + h}\sqrt{x + h}}= \\ \frac{-h}{hx\sqrt{x + h}+ h\sqrt{x}(x + h)}= \\ \frac{-h}{h(x\sqrt{x + h} + \sqrt{x}(x + h\left)\right)}= \\ \frac{-1}{x\sqrt{x + h}+\sqrt{x}(x + h)} \end{gathered}$$

Ah tack just det! x:or försvinner ju och högre och nedre h tar ut varandra. Tack, det blev jätte tydligt, jag är jätte seg på algebra.

t Albiki skrev :

Hej!

 Med Kvotregeln blir derivatan för funktionen $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ lika med funktionen

    $\displaystyle f'(x) = \frac{0\cdot \sqrt{x}-1\cdot(\sqrt{x})'}{x} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

Albiki

Snyggt så en kan också göra så! Tack, jag hade inte tänkt på det (of c.)

Kedjeregeln var jätte stilligt! Lite för stilligt för mig, behövde skriva om det på pappret, för jag fortfarande blandar kjedje regeln och produktregeln :/.

Måste smälta att $\sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$, har aldrig tänkt på det förrut!

 

Minounderstand skrev :Daja skrev :Minounderstand skrev :Hej,

kan de vara så att de vill att du ska använda kvotregeln för att ta fram derivatan?

f'(x)g'(x)=f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)(g(x))2, där g'(x) ≠0 eller är det meningen att du ska använda derivatans definition?
Hej!

Isf vet jag inte hur jag skulle kunna använda kvotregeln för f(x)=x, jag har bara en funktion? Eller?
Jodå, precis som Albiki skriver så blir f(x)=1f'(x)=0.
Kvotregeln går att använda i de fall där funktionen i nämnaren är nollskild, vilket gäller i detta fall ty: g(x)=x som är nollskild för alla x>0

Råkade skriva att g'(x) måste vara nollskild innan, men det är  g(x)  som måste vara nollskild för att derivatan skall vara definierad.
 

Tack Minou!

Nähä så en kan använda den traditionella h:utrötning metoden, kedjeregeln och kvotregeln (så länge nämnaren är alltid skillt från noll!)

Frågade en sak fick tre tekniker, tack till alla :))