Problem med aritmetisk talföljd – förstår inte steget med 10000d

Tänk på att

• $a_{101} = a_1 + 100d$
• $a_{102} = a_2 + 100d$
• $a_{103} = a_3 + 100d$

...

• $a_{199} = a_{99} + 100d$
• $a_{200} = a_{100} + 100d$

När alla dessa adderas ihop, så kommer du få summan av a₁₀₁+...+a₂₀₀ i vänsterledet, medan högerledet innehåller summan a₁+...+a₁₀₀ och sedan 100 kopior av 100d, d.v.s.

$a_{101}+ a_{102} + \cdots + a_{200} = a_{1}+ a_{2} + \cdots + a_{100} + 100 \cdot 100d$

Det var givet att a₁₀₁+...+a₂₀₀ = 200  och a₁+...+a₁₀₀ = 100, så dessa sätts in, vilket ger

$200 = 100 + 100 \cdot 100d$

Alternativ lösningsmetod som är enklare att följa (imho):

Formeln för aritmetiska summor är ju  $\dfrac{\text{antalet termer}}{2} \cdot (\text{första termen} + \text{sista termen} )$

Sedan kan man också uttrycka $n$:te termen m.h.a. $1$:a termen och differensen som  $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Använd dessa för att skriva om ekvationerna:

• $a_1 + a_2 + \cdots + a_{100} = 100 \iff \dfrac{100}{2} \cdot {(a_1 + {\color[rgb]{0.7, 0.0, 0.9}a_{100}})} = 100 \iff 50\cdot {(a_1 + {\color[rgb]{0.7, 0.0, 0.9}a_1 + 99d})} = 100$

och

• $a_{101}+a_{102}+\cdots+a_{200}=200\Leftrightarrow\frac{100}2\cdot{({\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a_{101}}+{\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}a_{200}})}=200\Leftrightarrow50\cdot{({\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}a_1+100d}+{\color[rgb]{0.0, 0.7, 0}a_1+199d})}=200$

Då har du två ekvationer med två obekanta, a₁ och d.

Tack! Jag förstår nu den alternativa lösningsmetoden men ska t.ex. inte a2 = a1 + 101d och a3 = a1 + 102 d osv.? Du skriver att den ena börjar från a2 och den andra från a3 men a1 är det första talet i talföljden. 

Anonym_15 skrev:

Tack! Jag förstår nu den alternativa lösningsmetoden men ska t.ex. inte a2 = a1 + 101d och a3 = a1 + 102 d osv.? Du skriver att den ena börjar från a2 och den andra från a3 men a1 är det första talet i talföljden. 

Jag hänger inte riktigt med. Är det följande du menar?

$a_2 = a_1 + d$,   så   $a_{102} = a_1 + 101 d = \underbrace{a_1 + d}_{=a_2} + 100d = a_2 + 100d$

och

$a_3 = a_1 + 2d$,   så   $a_{103} = a_1 + 102 d = \underbrace{a_1 + 2d}_{=a_3} + 100d = a_3 + 100d$

Helt allmänt gäller för aritmetiska talföljder att $a_n = a_k + (n-k)\cdot d$,  där  $n$ och $k$ är godtyckliga positiva heltal.

I vårt formeblad står följande: an = a1 + (n-1)*d

Båda formlerna används i lösningen ovan.

Anonym_15 skrev:

I vårt formeblad står följande: an = a1 + (n-1)*d

Javisst. Då är:

• $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$

och samtidigt

• $a_k = a_1 + (k-1) \cdot d$

Subtraherar du dessa, så får du:

• $a_n - a_k = a_1 + (n-1) \cdot d - a_1 - (k-1) \cdot d$,
  vilket förenklas till $a_n - a_k = (n-k)\cdot d$,
  vilket i sin tur ger att $a_n = a_k + (n-k)\cdot d$.

Detta medför exempelvis att $a_{153} = a_{53} + (153 - 53)\cdot d$, d.v.s. $a_{153} = a_{53} + 100d$ o. dyl.