Problem med induktionssteget

I ditt antagande ska det vara $\sum _{k=1}^n{k}^2$ i VL, inte $k^2$, och på samma sätt ska det vara en summa i induktionssteget. :) 

Smutstvätt skrev:

I ditt antagande ska det vara $\sum _{k=1}^n{k}^2$ i VL, inte $k^2$, och på samma sätt ska det vara en summa i induktionssteget. :) 

Ja men hur ska jag forendra sjalva utrackningen?

Vi kommer till induktionssteget: 

$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }}\frac{2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}{6}$

Vi delar upp summan i två delar, $\sum _{k=1}^n{k}^2$ och ${(n+1)}^2$. Vi kan använda vårt induktionsantagande för summan. Kommer du vidare därifrån? :)

Smutstvätt skrev:

Vi kommer till induktionssteget: 

$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }}\frac{2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}{6}$

Vi delar upp summan i två delar, $\sum _{k=1}^n{k}^2$ och ${(n+1)}^2$. Vi kan använda vårt induktionsantagande för summan. Kommer du vidare därifrån? :)

Men det ar ju det jag har gjort, jag har bara glomt att skriva summatecknet framfor. Jag anvande induktionsantagandet for att adderade (n+1)^2 med (2n^3 + 3n^2 + n)/6 enligt facit. Jag forstar inte varfor jag ska dela upp summan i tva delar nar det anda problemet ar att skriva om bada leden sa att de ser lika dana ut.

Jaha, okej, då förstår jag. Utveckla $\frac{2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}{6}$ och förenkla. Stämmer uttrycken överens? Om de stämmer, utgå från ditt induktionssteg, och gör de steg du precis gjort, fast i omvänd ordning, så att du kommer till $\frac{2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}{6}$. :)

Smutstvätt skrev:

Jaha, okej, då förstår jag. Utveckla $\frac{2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}{6}$ och förenkla. Stämmer uttrycken överens? Om de stämmer, utgå från ditt induktionssteg, och gör de steg du precis gjort, fast i omvänd ordning, så att du kommer till $\frac{2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}{6}$. :)

Jag kanske var otydlig pa borjan men det jag forskt gora vara att visa att  (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1) )/6 ar samma sak som 

(n+1)^2 + (2n^3 + 3n^2 + n)/6. Alltsa 

 (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1) )/6 = (n+1)^2 + (2n^3 + 3n^2 + n)/6

Jag undrar, tror du att det kan vara ett litet slarvfel i min facit. Enligt den ska det vara mojligt att skriva om bada leden till (2n(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1) )/6. Jur ska jag skriva om VL sa att den skiljer sig med endast ett n och HL har jag utvecklat och forenklat sa gott det gar men har ingen ide om hur jag ska fortsatta sa att den ser lika dan ut som VL. 

Slarvfel kan förekomma i facit, men det är också möjligt att vi missar något. Hur menar du när du skriver

Jur ska jag skriva om VL sa att den skiljer sig med endast ett n

? 

Vi skriver termerna i HL på samma bråkstreck och förenklar: 

$$\begin{gathered} \frac{6{\left(n+1\right)}^2+2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{6n^2+12n+6+2n^3+3n^2+n}{6}= \\ \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{gathered}$$

Om vi utvecklar VL med hjälp av kvadreringsreglerna får vi att 

$$\begin{gathered} \frac{2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)}{6}=\frac{2\left(n^3+3n^2+3n+1\right)+3\left(n^2+2n+1\right)+n+1}{6}= \\ \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{gathered}$$

Vi vet nu att VL = HL, och därmed att facit har rätt. Vi vet också att vi kan splitta upp täljaren $2n^3+9n^2+13n+6$ i HL till:

$$\begin{gathered} 2n^3+9n^2+13n+6=2n^3+6n^2+6n+2+3n^2+6n+3+n+1= \\ 2\left(n^3+3n^2+3n+1\right)+3\left(n^2+2n+1\right)+n+1 \end{gathered}$$

Och detta kan vi sedan skriva ihop till $2{\left(n+1\right)}^3+3{\left(n+1\right)}^2+\left(n+1\right)$, och vi är klara. 

Det är ofta lättare att utveckla och förenkla än att gå åt motsatt håll. :)