Problem trigonometriska formler

 Du kan prova att använda den trigonometriska formeln för dubbla vinkeln.

jag har börjat så, men kommer ingen vart.

Bra start

sin²(x) kan också skrivas om med hjälp av dubbla vinkeln (1-cos(2x))/2

cos(v) och sin(v) kan betraktas som var sin konstant som kan anta värden mellan -1 och 1 kalla dom K och L

Så om du sammanställer det du gjort med det jag skrivit ovan kan du få ett uttryck av typen

K(0,5-cos(2x)/2) + sin(2x)/2*L

vilket går att förenkla till ngt som liknar

A*sin(2x) - B*cos(2x) + D (där A, B och D är nya konstanter (som visserligen beror av v, men det är x som är vår variabel i funktionen f(x) enligt uppgiften ))

Vilket i sin tur kan skrivas som C*sin(2x+E) vilket har perioden pi !

Alternativ lösningsmetod: Du kan utgå från definitionen av periodicitet:

Funktionen $f(x)$ har perioden $\pi$ om det gäller att $f(x+\pi) = f(x)$ för alla reella $x$.

Man kan alltså teckna $f(x+\pi)$ och sedan utnyttja additionsformeln för sinusfunktionen (respektive symmetrier i enhetscirkeln) för att inse att det faktiskt är lika med $f(x)$:

$\displaystyle f\left(x+\pi\right) = \underbrace{\sin(x+\pi)}_{=-\sin x} \cdot \underbrace{\sin(x+\pi+v)}_{=-\sin(x+v)} = \left(- \sin x\right)\cdot\left(-\sin(x+v)\right) = \sin x \sin\left(x+v\right) = f\left(x\right)$

På så sätt har man visat att $f(x+\pi) = f(x)$, varför $f$ är $\pi$-periodisk.

okej, tack så jätte mycket!