67 svar
534 visningar
Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

Problematiskt

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 11 jan 2018 Redigerad: 11 jan 2018
Päivi skrev :

Det här problemet är av samma typ och kan lösas på samma sätt som problemet i din andra tråd. Börja med den andra tråden och med att förstå den lösningen. Sen kan du använda samma metod till detta problem.

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

Jag har kunnat det Här, men nu är det bort blåst.

Päivi skrev :

Jag har kunnat det Här, men nu är det bort blåst.

Vi tar den andra tråden först.

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

Ja, det gör vi.

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

Päivi skrev :

Du har gjort fel när du faktoriserade xn-xn-2 x^n-x^{n-2} .

Ta för vana att alltid kontrollera dina faktoriseringar genom att multiplicera ihop faktorerna igen och se om det stämmer.

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018
Yngve skrev :
Päivi skrev :

Du har gjort fel när du faktoriserade xn-xn-2 x^n-x^{n-2} .

Ta för vana att alltid kontrollera dina faktoriseringar genom att multiplicera ihop faktorerna igen och se om det stämmer.

Det blev fel

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

Jag klarar inte av det. Jag kan vänta med uppgiften några veckor.

Päivi skrev :

Jag klarar inte av det. Jag kan vänta med uppgiften några veckor.

Ledtråd: Du kan skriva xn x^n som xn-2x2 x^{n-2}x^2 .

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

x^n(1 - 2) verkar konstigt. 

Päivi skrev :

x^n(1 - 2) verkar konstigt. 

Ja det är konstigt. Men det är inte det du får när du faktoriserar uttrycket. Det blir istället

xn-xn-2=xn-2x2-xn-2=xn-2(x2-1) x^n-x^{n-2}=x^{n-2}x^2-x^{n-2}=x^{n-2}(x^2-1)

----------

Jämför med förra uppgiften, där du hade att

xn-xn-1=xn-1x-xn-1=xn-1(x-1) x^n-x^{n-1}=x^{n-1}x-x^{n-1}=x^{n-1}(x-1)

 

Ser du likheterna?

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018 Redigerad: 11 jan 2018

Då blir det tre nollställen. 

Ja, det gör jag.

x^ n-2= 0 ( nollprodukts metoden. 

x^2-1=0

x^2=1

x= plus minus roten ur  1

x= 0

x-= plus roten ur 2

x= minus roten ur 2

Bubo 2328
Postad: 11 jan 2018

Nu har du struntat i parenteser, trots uppmaning nyss, så att du skriver något totalt felaktigt (när jag tror att du menar helt rätt)

Du ger också fem lösningar när du säger att det finns tre lösningar.

Päivi skrev :

Då blir det tre nollställen. 

Ja, det gör jag.

x^ n-2= 0 ( nollprodukts metoden. 

x^2-1=0

x^2=1

x= plus minus roten ur  1

x= 0

x-= plus roten ur 2

x= minus roten ur 2

På grund av att du återigen har slarvat med parenteserna i exponenten så har du fått fram två nollställen som inte finns.

Skriv ordentligt!

----

(Du har fått fram 5 nollställen, inte 3 som du skrev.)

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

xn-2=0,       x2-1=0                     x2=1                     x=2                     Tre nollställennn-2=0x=2x=2

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 11 jan 2018 Redigerad: 11 jan 2018
Päivi skrev :

xn-2=0,       x2-1=0                     x2=1                     x=2                     Tre nollställennn-2=0x=2x=2

Men Päivi, menar du på allvar att du tror att ekvationen x2=1 x^2=1 har lösningen x=2 x=\sqrt{2} ?

 ----------

Och xn-2=0 x^{n-2}=0 är en ekvation, inte en beskrivning av ett nollställe.

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

Ursäkta, nu blev det stort miss. Jag menade roten ur 1 istället. Både plus och minus. 

Päivi 5583
Postad: 11 jan 2018

y=xn-xn-2     xn-2(x2-1)=0  xn-2=0x=±1  

Päivi skrev :

y=xn-xn-2     xn-2(x2-1)=0  xn-2=0x=±1  

Nu ser det bättre ut Päivi.

Förenkla uttrycket för de 2 nollställen du kommit fram till och lös ekvationen på näst sista raden för att hitta det tredje och sista nollstället.

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Hej Päivi.

Den undre raden har inget med den övre raden att göra (se bild), mer än att det är två ekvationer som råkar ha samma lösning. Använd istället samma metod som i din andra tråd för att lösa ekvationen.

-----------

Alternativ metod om du tycker att subtraktionen i exponenten förvirrar:

Skriv först om xn-2 x^{n-2} till xnx2 \frac{x^n}{x^2} med hjälp av potenslagen abac=ab-c \frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} .

Ekvationen blir då xnx2=0 \frac{x^n}{x^2}=0 och du kan lösa den genom att först multiplicera hela ekvationen med x2 x^2 , förenkla och sedan upphöja båda leden till 1/n 1/n

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Yngve skrev :

Hej Päivi.

Den undre raden har inget med den övre raden att göra (se bild), mer än att det är två ekvationer som råkar ha samma lösning. Använd istället samma metod som i din andra tråd för att lösa ekvationen.

-----------

Alternativ metod om du tycker att subtraktionen i exponenten förvirrar:

Skriv först om xn-2 x^{n-2} till xnx2 \frac{x^n}{x^2} med hjälp av potenslagen abac=ab-c \frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} .

Ekvationen blir då xnx2=0 \frac{x^n}{x^2}=0 och du kan lösa den genom att först multiplicera hela ekvationen med x2 x^2 , förenkla och sedan upphöja båda leden till 1/n 1/n

Nu förstår jag inte Dig, hur du menar, Yngve!

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

 Edit

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Det besvärliga är Nu, hur man ska ställa upp det hela vänster ledet. Såg du hur jag gjorde och jag tycker inte att det går multiplicera så.

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018
Päivi skrev :

Det besvärliga är Nu, hur man ska ställa upp det hela vänster ledet. Såg du hur jag gjorde och jag tycker inte att det går multiplicera så.

Hej Päivi.

Jag önskar att du kunde vara lite mer noggrann när du läser mina tips och när du skriver dina matematiska uttryck.

1. Jag skrev att xn-2 kan skrivas som xnx2, men du skrev xnx-2 (rödmarkerat på rad 2 i bilden).

2. På rad 3 har du fått tillbaka rätt exponent i nämnaren, men när jag i mitt förslag skrev att du ska multiplicera med x2 så upphöjer du istället vänsterledet till x2 och högerledet upphöjer du istället, först till x och sedan till (n-2), vilket är samma sak som att upphöja högerledet till xn-2. Jag har markerat detta i magenta på rad 3.

Du gör alltså inte alls som jag skriver och framför allt, du gör olika saker med vänster- och högerledet

Det här är alls inget magiskt. Det är en enkel ekvation som du löser på ett standardiserat sätt som du är väl bekant med. Multiplicera med nämnaren för att bli av med den:

xnx2=0

Multiplicera med nämnaren x2:

x2·xnx2=x2·0

Förenkla:

xn=0

Upphöj båda leden till 1/n:

xn1n=01n

Multiplicera ihop exponenterna i vänsterledet och förenkla:

x=0

 

Och så vidare...

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Jag hade glömt radera det som du tog fram där. Felet satte där. 

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Päivi skrev :

Jag förstår inte riktigt om det var en fråga eller inte Päivi?

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Jo, det var en fråga. Det går inte få ihop så om man multiplicerar så som du har visat.

Päivi skrev :

Jo, det var en fråga. Det går inte få ihop så om man multiplicerar så som du har visat.

Jo det går visst. Det är en vanlig förenkling där du förkortar med x2 x^2 , se bild:

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Ja, nu förstår jag. Tänkte inte på förkortning där, Yngve. Då förstår jag 

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Päivi skrev :

Ja nu ser det bättre ut Päivi.

Nu är det bara en rad som är fel, nämligen den där du skriver n=x2·0 n=x^2\cdot 0 .

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Det ska vara noll enbart. 

Päivi skrev :

Det ska vara noll enbart. 

Nej det är fel i vänsterledet. Där ska det stå xn x^n , inte bara n n .

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Ja. Nu är du äntligen framme Päivi!

-----------------------------------------------------------------

Orkar du med att jag sätter dig på prov med ett liknande problem så att du kan visa att du nu behärskar denna metod?

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Ja, det får du göra, Yngve!

Jag har laddat min telefon färdigt nu. Jag hade dåligt med batterier nyss.

Päivi skrev :

Ja, det får du göra, Yngve!

Jag har laddat min telefon färdigt nu. Jag hade dåligt med batterier nyss.

OK.

Hur många nollställen har funktionen y=xn-2xn-1+xn-2 y=x^n-2x^{n-1}+x^{n-2} då n är ett heltal större än 2?

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Vänta gör kontroller 

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Tre noll ställen.

Päivi skrev :

Tre noll ställen.

Det gäller att vara noggrann hela vägen.

Kontrollera din faktorisering precis i början.

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Jag har problem med potens faktoriseringen.

X^n-2 ( x -2x^2 +1)

Verkar tokigt 

Inom parentesen blir det 

-x^2+1= 0

x^2= 1

X=+/- roten ur 1

Sedan har vi kvar sista. Nu har vi x ^n-2

Det kanske går ändå.

 

Vänta

Päivi 5583
Postad: 12 jan 2018

Dr. G Online 3208
Postad: 12 jan 2018
Yngve skrev :

(med risk för att röra till det:) 

Resonemanget ovan kan verka rätt, men som det står förutsätter det att man kan dela med 0.

Jag tycker det är mer rätt fram att inse att följande gäller :

För alla positiva tal a gäller att om

x^a = 0

så är x = 0.

I det här fallet är (n - 2) ett positivt tal, så då är

x = 0 

om

x^(n - 2) = 0. 

Dr. G skrev :

(med risk för att röra till det:) 

Resonemanget ovan kan verka rätt, men som det står förutsätter det att man kan dela med 0.

Ja, jag insåg det efter att jag postade svaret.

Jag tycker det är mer rätt fram att inse att följande gäller :

För alla positiva tal a gäller att om

x^a = 0

så är x = 0.

I det här fallet är (n - 2) ett positivt tal, så då är

x = 0 

om

x^(n - 2) = 0. 

Jag tycker att jag försökte den vägen, men jag tror att Päivi blev förvirrad av subtraktionen i exponenten. Jag försökte även en substitution k = n-2 för att slippa subtraktionen. 

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 12 jan 2018 Redigerad: 12 jan 2018

Päivi, din faktorisering är olika varje gång och den är fortfarande fel.

Det sista du skrev stämmer inte.

Ett bra tips är att när du har gjort en faktorisering så ska du multiplicera ihop faktorerna igen och se att du då får tillbaka ursprungsuttrycket.

Du skriver här att xn-2xn-1+xn kan faktoriseras till xn-2(x2-2x2+1).

Nu tycker jag att du ska kontrollera detta genom att multiplicera ihop xn-2 med xn-2(x2-2x2+1) och se om produkten då verkligen blir xn-2xn-1+xn

Om det inte blir det så har du gjort fel någonstans och det är bara att börja om och försöka igen.

--------------------------------------------------

OBS! Ta för vana att göra denna kontroll varje gång du har gjort en faktorisering. Det är inte svårt, det tar inte lång tid och det kommer att hjälpa dig att undvika många onödiga slarvfel.

-------------------------------------------------

Päivi 5583
Postad: 13 jan 2018 Redigerad: 13 jan 2018

Jag klarar inte av faktorisera  potenser. 

Päivi 5583
Postad: 13 jan 2018

Jag behöver hjälp även med denna uppgiften också eller måste jag vänta till tisdag mef den också?

Om du följer alla råd du får skulle det gå betydligt bättre.

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 13 jan 2018 Redigerad: 13 jan 2018
Päivi skrev :

Jag behöver hjälp även med denna uppgiften också eller måste jag vänta till tisdag mef den också?

Uppgiften lyder:

Hur många nollställen har funktionen y=xn-2xn-1+xn-2 y=x^n-2x^{n-1}+x^{n-2} , då n är ett heltal större än 2?

Eftersom du har svårt för exponenter så förenklar vi problemet genom att vi kallar xn-2 x^{n-2} för A.

Eftersom xn=x2·xn-2 x^n=x^2\cdot x^{n-2} så gäller att xn=x2·A x^n=x^2\cdot A

Eftersom xn-1=x·xn-2 x^{n-1}=x\cdot x^{n-2} så gäller att xn-1=x·A x^{n-1}=x\cdot A

Vi kan då skriva funktionen som  y=x2·A-2x·A+A y=x^2\cdot A-2x\cdot A+A .

Vi ser nu att A är en gemensam faktor i alla termer, så vi kan bryta ut den:

y=A·(x2-2x+1) y=A\cdot (x^2-2x+1)

Eftersom  x2-2x+1=(x-1)2 x^2-2x+1=(x-1)^2 så kan vi skriva ekvationen som  y=A·(x-1)2 y=A\cdot (x-1)^2

Nollställena hittar vi om vi löser ekvationen y=0 y=0 , vilket nu alltså är samma sak som att lösa ekvtionen  A·(x-1)2=0 A\cdot (x-1)^2=0 .

Med hjälp av nollproduktmetoden inser vi då att det finns två olika alternativ:

Alternativ 1: A=0 A=0 , dvs att xn-2=0 x^{n-2}=0 . Detta ger oss lösningen x=0 x=0 .

Alternativ 2 (x-1)2=0 (x-1)^2=0 . dvs att x-1=0 x-1=0 , dvs att x=1 x=1 .

--------

 Nu sammanställer vi dessa lösningar:

Svar: Funktionen har nollställen x=0 x=0 och x=1 x=1 .

Hängde du med i alla steg på den lösningen Päivi?

Päivi 5583
Postad: 13 jan 2018

Jag återkommer, när jag har skrivit först det andra. Det tar lite tid. 

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018
Yngve skrev :
Päivi skrev :

Jag behöver hjälp även med denna uppgiften också eller måste jag vänta till tisdag mef den också?

Uppgiften lyder:

Hur många nollställen har funktionen y=xn-2xn-1+xn-2 y=x^n-2x^{n-1}+x^{n-2} , då n är ett heltal större än 2?

Eftersom du har svårt för exponenter så förenklar vi problemet genom att vi kallar xn-2 x^{n-2} för A.

Eftersom xn=x2·xn-2 x^n=x^2\cdot x^{n-2} så gäller att xn=x2·A x^n=x^2\cdot A

Eftersom xn-1=x·xn-2 x^{n-1}=x\cdot x^{n-2} så gäller att xn-1=x·A x^{n-1}=x\cdot A

Vi kan då skriva funktionen som  y=x2·A-2x·A+A y=x^2\cdot A-2x\cdot A+A .

Vi ser nu att A är en gemensam faktor i alla termer, så vi kan bryta ut den:

y=A·(x2-2x+1) y=A\cdot (x^2-2x+1)

Eftersom  x2-2x+1=(x-1)2 x^2-2x+1=(x-1)^2 så kan vi skriva ekvationen som  y=A·(x-1)2 y=A\cdot (x-1)^2

Nollställena hittar vi om vi löser ekvationen y=0 y=0 , vilket nu alltså är samma sak som att lösa ekvtionen  A·(x-1)2=0 A\cdot (x-1)^2=0 .

Med hjälp av nollproduktmetoden inser vi då att det finns två olika alternativ:

Alternativ 1: A=0 A=0 , dvs att xn-2=0 x^{n-2}=0 . Detta ger oss lösningen x=0 x=0 .

Alternativ 2 (x-1)2=0 (x-1)^2=0 . dvs att x-1=0 x-1=0 , dvs att x=1 x=1 .

--------

 Nu sammanställer vi dessa lösningar:

Svar: Funktionen har nollställen x=0 x=0 och x=1 x=1 .

Hängde du med i alla steg på den lösningen Päivi?

Nu tittar jag på det här, Yngve. Det  kan hända att jag har frågor.

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018

Uppgiften lyder:
Hur många nollställen har funktionen y=xn−2xn−1+xn−2yxn2xn1xn2, då n är ett heltal större än 2?
Eftersom du har svårt för exponenter så förenklar vi problemet genom att vi kallar xn−2xn2 för A.
Eftersom xn=x2⋅xn−2xnx2xn2 så gäller att xn=x2⋅Axnx2A
Eftersom xn−1=x⋅xn−2xn1xxn2 så gäller att xn−1=x⋅Axn1xA

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018

Päivi skrev :

Uppgiften lyder:
Hur många nollställen har funktionen y=xn−2xn−1+xn−2yxn2xn1xn2, då n är ett heltal större än 2?
Eftersom du har svårt för exponenter så förenklar vi problemet genom att vi kallar xn−2xn2 för A.
Eftersom xn=x2⋅xn−2xnx2xn2 så gäller att xn=x2⋅Axnx2A
Eftersom xn−1=x⋅xn−2xn1xxn2 så gäller att xn−1=x⋅Axn1xA

Var det här en fråga Päivi?

I så fall förstod jag inte den.

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018
Päivi skrev :

Det här pappret som jag nu visar. Jag försökte kopiera, men misslyckades. 

Päivi skrev :
Päivi skrev :

Det här pappret som jag nu visar. Jag försökte kopiera, men misslyckades. 

Den kommer av potenslagen xb·xc=xb+c x^b\cdot x^c=x^{b+c}

Eftersom n=2+(n-2) n=2+(n-2) så gäller att xn=x2+(n-2)=x2·xn-2 x^n=x^{2+(n-2)}=x^2\cdot x^{n-2} . Är du med på det?

Och eftersom vi har kallat xn-2 x^{n-2} för A A så gäller alltså att  xn=x2·xn-2=x2·A x^n=x^2\cdot x^{n-2}=x^2\cdot A . Är du med på det?

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018

Päivi skrev :

Jag vill faktorisera de tre termerna xn x^n , 2xn-1 2x^{n-1} och xn-2 x^{n-2} genom att bryta ut största möjliga gemensamma faktor, vilket är xn-2 x^{n-2} .

När jag faktoriserar termen xn x^n dyker x2 x^2 upp som en faktor eftersom xn=xn-2·x2 x^n=x^{n-2}\cdot x^2

x2 x^2 finns alltså inte med explicit i ursprungsuttrycket xn-2xn-1+xn-2 x^n-2x^{n-1}+x^{n-2} , men det finns med som en "dold" faktor i första termen.

-------------

Det här är inte konstigare än att uttrycket 12-15x 12-15x kan faktoriseras till 3(4-5x) 3(4-5x) .

Här "dyker det upp" både talet 4 och talet 5 som inte är med i ursprungsuttrycket.

Men de finns med som "dolda" faktorer i 12 respektive 15, på samma sätt som x2 x^2 finns med som "dold" faktor i xn x^n .

---------------

Här är en förklaring till faktoriseringarna, som alla baserar sig på potenslagen xb·xc=xb+c x^b\cdot x^c=x^{b+c} :

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018

Jo, jag har förstått Yngve!

Yngve Online 8631 – Mattecentrum-volontär
Postad: 14 jan 2018 Redigerad: 14 jan 2018

Som extra tydligt svar på det jag tror var din fråga:

Här är en, tycker jag, tydlig beskrivning av hela faktoriseringen, utan att gå vägen över A:

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018

Jag blir förbannad på telefonen. Din bild hoppar hela tiden. 

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018

Tack Yngve för detta!

Som jag sa till Dig Yngve att jag kommer titta på detta när jag hade skrivit färdigt.

Päivi skrev :

Jag blir förbannad på telefonen. Din bild hoppar hela tiden. 

Varför läser du inte från datorn?

Päivi 5583
Postad: 14 jan 2018 Redigerad: 14 jan 2018

Den andra telefonen är bättre. Jag läser sällan från dator. Jag borde starta om  routern. 

Svara Avbryt
Close