Problemlösning (derivata) - Per och Stina har fått en beställning...

A(x) är konstant och given, så den ska du inte minimera. Glasåtgången är proportionell mot kantlängden, 2x+y.

Hur fick du dram 2x+y? 
Är det för att det är 2 st längder som är x och 1 bredd som är y?

väte_organesson118 skrev:

Hej,

Jag behöver hjälp med följande fråga:

Jag har påbörjat en lösning:

Men det är ju fel, jag kan ju inte derivera funktionen jag har fått fram, eller? 

För om jag deriverar funktionen blir den A'(x) = 0,12 och andraderivatan blir A''(x) = 0, det går ju inte

Hur kan jag annars ställa upp ett funktionsuttryck? Och hur ska jag gå tillväga med höjden...? 

Tack på förhand!

Vänder bilden rätt, så jag kan tänka. 

På facit får de fram en funktion som de sedan deriverar:
$A\left(x\right) = 1,6x + \frac{16}{x}+0,096$

så jag har gjort helt fel. 

det finns ju något samband mellan y och x jag behöver bara förstå hur jag kommer fram till det sambandet. 

Sambandet för x och y är hyllplanets area som skall vara 20 dm²: 

$xy=20$

okej jag har försökt lösa frågan:

den sista bilden är lite konstig för jag har vänt på den men verkar detta rimligt?

Drt gulmarkerade stämner inte:

Hyllplanet är det streckade området. Dess area är x*y 

Okej, jag antog fel. 

$$\begin{gathered} xy = A\left(x\right) = 20 \\ xy = 20 \\ y = (20-x) \end{gathered}$$

sedan kan jag utnyttja informationen om glasskivorna, dvs för den långa glasskivan:

$$\begin{gathered} A_1=0,8\times (y+0,12) \\ vi vet att y = \frac{20}{x}, alltså \\ {A}_1=0,8(\frac{20}{x}+0,12) \\ {A}_1=\frac{16}{x}+0,096 \end{gathered}$$

och sedan har jag 2 st korta glasskivor:

$$\begin{gathered} A_2=2(x\times 0,8) \\ {A}_2=1,6x \end{gathered}$$

den totala arean för alla glasskivor tecknar jag som en funktion av A(x):

$$\begin{gathered} A\left(x\right) = A_1+A_2 \\ A\left(x\right) = \frac{16}{x}+0,096+1,6x \\ A\left(x\right)=16x^{-1}+0,096+1,6x \\ A\text{'}\left(x\right)=-16x^{-2}+1,6 \\ A\text{'}\left(x\right)=\frac{-16}{x^2}+1,6 \\ A\text{'}\left(x\right)=0 \\ 0 =\frac{-16}{x^2}+1,6 \\ x =\pm \sqrt{10} \end{gathered}$$

jag beräknar andraderivatan och får att den positiva roten gäller, dvs den ger mig minipunkten

minsta x: 

$x = \sqrt{10}\approx 3,2$

minsta y:

$y = \frac{20}{\sqrt{10}}\approx 6,32$

Svar: den minsta bredden är 3,2 dm och den minsta längden är 6,32 dm (på hyllplanet)

Verkar detta mer korrekt + mer rimligt?

Bra, det stämmer!

Jag ser bara ett par saker att förbättra:

1. Här har du nog bara råkat skriva fel:

2. I svaret anger du x med två värdesiffror och y med 3. 

x är inte den minsta bredden. Det är den bredd som ger den minsta arean.

Ja, tack för era förtydliganden.

Det första felet var ett slarvfel, jag menade egentligen $y=\frac{20}{x}$

Och för den andra skriver jag då: 

$$\begin{gathered} x \approx 3,2 \\ y \approx 6,3 \end{gathered}$$

Och ja, jag menade minsta bredden och längden som ger minst area.

Tack för alla era svar :)