13 svar
87 visningar
matte.123 15
Postad: 29 okt 2020

Problemlösning - hur mycket ökade...

Hej !

Frågan:

Antalet invånare tredubblades i ett samhälle mellan åren 1910–2015. Antalet invånare
ökade exponentiellt med tiden, dvs. med lika många procent per år. Bestäm den
genomsnittliga årliga procentuella ökningen för antalet invånare i detta samhälle.

Jag har inte kommit så lång med denna uppgift då jag inte fattat hur man ska räkna ut den. Men jag tror att man ska börja med "formeln" y=c×xa

jag tror att y= 3x      c =   x         a= 105

Men sen vet jag inte hur jag ska forsätta

Smutstvätt 13701 – Moderator
Postad: 29 okt 2020 Redigerad: 29 okt 2020

Utmärkt början! En liten detalj, eftersom vi har ett x i vår formel, är det bättre att döpa c till C, eller någon annan bokstav, exempelvis z. Annars har vi ett x som betecknar den procentuella förändringen per år, och ett x som betecknar startvärdet, vilket blir förvirrande. :)

Så, y=3cy=3c, c=cc=c och a=105a=105 ger ekvationen 3c=c·x1053c=c\cdot x^{105}. Kan vi förenkla den ekvationen på något sätt? :)

matte.123 15
Postad: 29 okt 2020

vi vill väll ha alla c på en sida, så vi delar båda delarna med c

3c/c = c

andra delen borde då vara x upphöjt till 105

har jag rätt än så länge?

Det stämmer! Så då är ekvationen 3=x1053=x^{105}. Vad kan vi göra nu? :)

matte.123 15
Postad: 30 okt 2020

förlåt för sent svar men, ska man ta roten ur x upphöjt till 105?

vi vill ju veta vad ett x är.  ska man kanske dela båda sidorna med 3?

Ja, roten ur är ett bra steg! Vilken rot ska vi ta? Andra roten ur (kvadratroten)? Tredje? Vi vill gärna få ett ensamt x i ena ledet. :)

matte.123 15
Postad: 30 okt 2020

vad är skillnaden mellan andra roten ur och tredje roten ur. Men jag gissar på att man ska ta tredje roten ur eftersom att vi har en 3.

Andra roten / kvadratroten ur x frågar frågan "vilket tal multiplicerat med sig själv blir x?", alltså att om x=t, så gäller det att t·t=x

Tredje roten ur frågar frågan "vilket tal multiplicerat med sig själv tre gånger blir x?", alltså att om x3=t, så gäller det att t·t·t=x

 

I uppgiften har vi fått 3=x105, vilket är samma sak som att 3=x·x·x·x·...·x·x105 gånger.

Om vi då vill hitta x, kan vi använda oss av att om  x105=tgäller det att t·t·t·t·...·t·t105 gånger=x. Prova att applicera detta på ekvationen. Vad händer? :)

matte.123 15
Postad: 30 okt 2020

Jag fattar inte vad jag nu ska göra, är detta inte lite för komplicerat?

Smaragdalena Online 45342 – Moderator
Postad: 30 okt 2020 Redigerad: 30 okt 2020

Jag fattar inte vad jag nu ska göra, är detta inte lite för komplicerat?

Nejdå!  Om du vill ta reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x2=a så räknar du ut a\sqrt{a}. Om du vill ta reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x3=a så räknar du ut a3. Om du vill ta reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x4=a så räknar du ut a4. Nu vill du ha reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x105=a så räknar du ut ...

matte.123 15
Postad: 30 okt 2020

a105

är det rätt? 

om det är rätt, vad ska vara istället för a?

Du verkar tänka rätt. Läs igenom uppgiften igen. Vilket värde har a?

matte.123 15
Postad: 31 okt 2020

A var ju 105. 

Så svaret blir då 1.04532039, alltså en ökning på ungefär 4,5 procent per år

men det är fel svar, är det ett ytterligare steg man ska ta?

Yngve 18407 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 31 okt 2020 Redigerad: 31 okt 2020

Nej ekvationen var ju 3=x1053=x^{105}, vilket betyder att a=3a=3.

Det betyder att x=31105x=3^{\frac{1}{105}}

Svara Avbryt
Close