Problemlösning komplexa talplanet

Hej! Jag har arbetat på en nivå 3 bevis uppgift och undrar om jag tänkt och gjort rätt? (Finns inte tydligt facit)

Bild på frågan:

Mitt svar:

Jag bevisade att den hamnar i fjärde kvadranten men hur ser man att den endast kan vara i F?

Det enda sättet jag bevisade att den finns i F var att sätta |Z| istället för ReZ och ImZ. Vilket gav med samma metod:

(|Z|-|Z|i)/(2|Z|^2)

-i/(2|Z|) = b

och

1/(2|Z|) = a

Då kan man tydligt se att den är i F. Men problemet är att den endast visar ett villkor då b och a är lika. Det är därför inte praktiskt bevis tänker jag.

Denna del är för sökande på Google efter samma uppgift (Ignorera eftersom du sett bilden med uppgiften)

Fråga: I figuren är åtta olika områden i det komplexa talplanet markerade med A, B, C, D, E, F, G och H. Cirkeln är en enhetscirkel med centrum i origo. Cirkeln och koordinataxlarna ingår inte i något av de markerade områdena

Olikheterna $\text{Re }z \ge |z|$ respektive $\text{Im }z \ge |z|$ stämmer inte. (Dessa råkar gälla endast på respektive positiv koordinataxel.) Tänk på att $|z|$ är längden av sträckan från origo mot punkten $z$ , medan $\text{Re }z$ är punktens x-koordinat och $\text{Im }z$ är punktens y-koordinat. Enligt Pythagoras sats blir $|z|^2 = (\text{Re }z)^2 + (\text{Im }z)^2$ , vilket medför att $\text{Re }z \le |z|$ respektive $\text{Im }z \le |z|$ .

Bevissättet du använt för att motivera att 1/z ligger i fjärde kvadranten är dock OK!

Att sätta att |z| istället för Re z och Im z går dock inte bra eftersom det inte är möjligt att både real- och imaginärdelen är lika med |z| samtidigt p.g.a. Pythagorassats som jag nämnt ovan.

Du kan beräkna $\left| \dfrac{1}{z} \right| = \left| \dfrac{\text{Re }z - i\,\text{Im }z}{(\text{Re }z)^2 + (\text{Im }z)^2} \right| = \dfrac{1}{\sqrt{(\text{Re }z)^2 + (\text{Im }z)^2}} < 1$ eftersom nämnaren är större än 1.

Det är nog enklast att använda polära koordinater och räknelagarna för dem.

Om $z = r\,(\cos v + i \sin v)\in B$ , så gäller det att $r > 1$ och $0 < v < \frac{\pi}{2}$ .

Enligt räknelagarna för polär form blir $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\,\left( \cos(-v) + i \sin(-v) \right)$ . Detta innebär att $|1/z| = 1/r < 1$ (d.v.s. talet ligger inuti enhetscirkeln) och $\arg(1/z) = -v$ ligger mellan $-\pi/2$ och $0$ (d.v.s. talet ligger i fjärde kvadranten).

Ofta tydligare att bara använda e^ifi

Svara