Problemlösning med skivformeln

Hur har du ritat din figur? Ett tips är att vrida den så att muggen "står upprätt" (och vätskeytan blir sned). Då blir dina (vertikala) skivor jämntjocka.

Absolut, det är så jag har ritat:

Grymt. På avstånd x från mitten av muggen, hur breda och höga blir dina skivor då? Vad får du för integrationsgränser?

Det blir antagligen lättare för dig om du ritar två 2-dimensionella figurer, en sedd uppifrån (som du använder för att bestämma bredden på skivorna) och en från sidan (som du använder för att bestämma höjden).

Bredden av skivorna är ju radien, som beror av höjden. (Dock inte muggens höjd h).

Alltså r(h). Höjden (dvs tjockleken) på mina skivor vill jag ska gå mot noll för att få ett så bra värde på volymen. 

Vi tänker att  man ska använda sig av arean på skivorna, alltså (pi*r^2)/2, men vi vet inte riktigt hur vi ska skriva ner det...

Men i facit står det (2/3)hr^2 så de har ju inte använt sig av arean känns det som

Menar du att man ska skriva ${\int }_0^h\frac{{\mathrm{\pi x}}^2}{2}dx$? 

Du får ett betydligt enklare problem om du gör som jag skrev i första kommentaren och skivar vertikalt istället för horisontellt

Notera att om du skivar horisontellt så är det bara den understa skivan som är en halvcirkel, övriga kommer vara mindre cirkelsegment av samma cirkel (och inte mindre halvcirklar).

Tänker du att du skär så att det blir trapetser av skivorna, eller hur menar du med vertikalt?

Kan man använda rörformeln på något vis? Det borde bli fel eftersom att muggens kant är rund men den varma chokladen har ju en platt yta, så det kan inte vara en rotationsvolym?

Det blir rektanglar om man skivar vertikalt. Rotationsformel har man ingen nytta av här, det stämmer. 

Ni har helt rätt haraldfreij & Laguna. :-)

Men eftersom att det blir rektanglar när man skivar vertikalt blir kroppens volym ${\int }_0^{r}abdx$

Där har den skivan närmast mitten av koppen nästan arean 2r och skivan ut mot kanten nästan arean h.

Jag begriper dock inte var de får 2/3 ifrån i facit...

Både första och sista skivan kommer ha area 0, eftersom höjden på första är 0 och bredden på sista är 0.

Bredden för skivan ser du lättast om du ritar figuren uppifrån, så att du ser en cirkel. Här krävs (lite) räkning. Höjden ser du lättast från sidan.

Att det blir 2/3 kommer du se först när du räknat klart, det finns inget tydligt sätt att se det innan dess. Försök att inte gå händelserna i förväg, utan räkna på tills du fått ett svar och jämför sedan med facit.

Bredden blir $2\sqrt{r^2-x^2}$ där x är sträckan fram till min skiva från mitten av koppen (Från 0).

Höjden blir $\sqrt{{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^2-y^2}$... eller blir det..?

Man får väl inte skriva integraler med både x och y? Så sedan när vi ska beskriva volymen behöver vi ett annat uttryck för höjden...

Helt rätt för bredden. För höjden finns det ett mycket enklare uttryck. Rita figuren sedd från sidan, så blir det tydligt att y omöjligt kan komma in i uttrycket.

Höjden blir $\frac{hx}{r}$ om man tittar rakt från sidan och tänker att trianglarna är likformiga...

Så då blir volymen ${\int }_0^r\left(\frac{hx}{r}\right)\left(2\sqrt{r^2-x^2}\right)dx$...

Man borde väl använda partialintegration för att lösa den men det blir otroligt krångligt

Tomte123 skrev:

Man borde väl använda partialintegration för att lösa den men det blir otroligt krångligt

 Prova att sätta:

$u=\sqrt{r^2-x^2}$

Äntligen har vi löst den!! Tjoho! Spänn fast säkerhetsbältet, så här räknade vi:

${\int }_0^r\left(\frac{hx}{r}\right)\left(2\sqrt{r^2-x^2}\right)dx \iff \frac{2h}{r}{\int }_0^{r}x·\sqrt{r^2-x^2}dx \iff$$\left[\stackrel{x^2=t}{dt =2xdx}\right]= \frac{2h}{r}{\int }_0^r\frac{\sqrt{r^2-t}}{2}dt \iff \frac{h}{r}{\int }_0^r\sqrt{r^2-t}dt \iff$

$\frac{h}{r}\left[-\frac{2{\left(r^2-x^2\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{3}\right]\stackrel{r}{0}$$\iff -\frac{2h}{3r}·{\left(-r\right)}^3 =\frac{2}{3}h{r}^2$

Jag tar bort inlägget :-)

det var inget! förstår nu 

HeJ! Hur fick ni fram bredden? :) 

linalg skrev:

HeJ! Hur fick ni fram bredden? :) 

Gör en ny tråd där du visar hur långt DU har kommit på uppgiften, så är det enklare för oss att hjälpa dig.