Processen i ett basbyte

$\left(\alpha , \beta , \gamma \right)=(0, 0, 0) \iff \alpha =0\wedge \beta =0\wedge \gamma =0$. 

a(1, 0, 0) + b(2, 1, 0) + c(3, 2, 1) = (a + 2b + 3c, 0 + b + 2c, 0 + 0 + c) = (0, 0, 0), vilket ger att

a + 2b + 3c = 0

b + 2c = 0

c = 0.

Tillägg: 5 feb 2025 22:31

Du behöver bara visa att de nya vektorerna är linjärt oberoende. I ett tredimensionellt vektorrum är varje uppsättning om tre linjärt oberoende vektorer en bas.

PATENTERAMERA skrev:

a(1, 0, 0) + b(2, 1, 0) + c(3, 2, 1) = (a + 2b + 3c, 0 + b + 2c, 0 + 0 + c)

Jag är inte alls med på vad som händer i det här steget, varför det första värdet i varje vektor (?) läggs samman till det första värdet i en ny vektor.

Om du har vektorerna (2, 1, 0) och (1, -1, 2), vad blir summan (2, 1, 0) +(1, -1, 2)? Varför blir det så?

Om du multiplicerar ett tal med en vektor, exempelvis 3*(2, 1, 0), vad blir resultatet?

Summan blir (3, 0, 2). Här tänker jag mig att den första vektorn "vill" två steg framåt i den första dimensionen, och den andra vill ett steg framåt i samma dimension. Då blir resultatet att för just denna dimension rör sig den resulterande vektorn tre steg framåt.

Produkten blir (6, 3, 0). Detta eftersom multiplikationen gör vektorn tre gånger så lång. Detta är svårare för mig att greppa ju fler dimensioner vektorn rör sig genom.

Precis. När du adderar två vektorer så adderar du komponentvis.

När du multiplicerar med skalär så multiplicerar du varje komponent med skalären.

Tillämpa nu de reglerna på a(1, 0, 0) + b(2, 1, 0) + c(3, 2, 1).

Hej igen och tack för hjälpen. Det blev ett studieuppehåll =)

Jag är med på "den större" frågan nu, alltså varför ekvationssystemet blir som det blir. Jag är inte med på den mindre, alltså hur vi kan säga att ${ê}_1, {ê}_2, {ê}_3$ är en bas enbart baserat på att vårt ekvationssytem inte har någon annan lösning än den triviala och att tre helt okända vektorer $e_1, e_2, e_3$ är en bas enligt uppgiften.

Jag förstår varför avsaknad av annan lösning än den triviala leder till "basighet", eftersom det betyder att det inte går att få vektorerna att "ta ut varandra" på annat sätt än att ingen vektor gör någonting. Det kopplar i hjärnan när jag har tre kända vektorer och jag ska avgöra om de är en bas i rummet. Här får jag tre okända vektorer som jag bara får veta utgör en bas, sen ska jag avgöra om dessa vektorer med vissa koordinater utgör en ny bas. Det känns som om detta borde vara omöjligt att veta utan att veta vektorerna $e_1, e_2, e_3$, inte bara att de utgör en bas.

Jag är nog inte riktigt med på vad den mindre frågan är. Men några tankar:

För det första är det bra att förstå vad koordinater betyder. Om du säger att i basen e (alltså basvektorerna kallas e1, e2, e3) har en vektor v koordinaterna (1,2,3) betyder det att du kan skriva v=1*e1 + 2*e2 + 3*e3. På samma sätt, om du får reda på att en vektor u kan skrivas som u=2*e1 + 3*e2 + (-1)*e3 kan du direkt plocka ut koordinaterna: u = (2, 3, -1) i denna bas.

Om du istället skulle välja andra basvektorer kommer koordinaterna i denna nya bas bli ny, eftersom vektorerna blir en annan linjärkombination av de nya basvektorerna.

Men vektorn v är alltid samma vektor, oavsett vilket bas du skriver den i. Du kan tänka dig att du ritar en vektor i rummet. Den vektor är ju densamma, oavsett vilken bas du väljer. Den kommer ha olika koordinater, men den har samma längd och riktning.

Så när du säger att du vill veta koordinaterna för basvektorerna blir det bara ett nytt lager: du får koordinater relativt en ny bas

Hondel skrev:

Jag är nog inte riktigt med på vad den mindre frågan är.

I en mening blir den typ: Hur kan vi veta att ê1, ê2, ê3 är en bas enbart baserat på informationen att e1, e2, e3 är en bas och att ekvationssystemet inte har någon annan lösning än den triviala?

Det känns som om att eftersom vi inte vet vad e1, e2, e3 är skulle ekvationssystemet kunna ha 0, 1 eller oändligt många lösningar och vi skulle i samtliga fall kunna välja e1, e2, e3 så att ê1, ê2, ê3 blir en bas eller inte blir det, beroende på vad vi känner för.

Du vet att e1, e2, e2 är linjärt oberoende eftersom de är en bas.

Det betyder att den enda lösningen på ekvationen

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e1\\ e2\\ e3\end{array}\right]=0$
är att

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$.

Vektorerna $\widehat{e1}, \widehat{e2}, \widehat{e3}$ är på liknande sätt en bas omm de är linjärt oberoende, vilket de är endast om den enda lösningen på ekvationen

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{e1}\\ \widehat{e2}\\ \widehat{e3}\end{array}\right]=0$
är att

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$.

Du har följande samband mellan de nya vektorerna och den ursprungliga basen.

$\left[\begin{array}{c}\widehat{e1}\\ \widehat{e2}\\ \widehat{e3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e1\\ e2\\ e3\end{array}\right]$

Vi har då

0 = $\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{e1}\\ \widehat{e2}\\ \widehat{e3}\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e1\\ e2\\ e3\end{array}\right]$. Men eftersom e1, e2, e3 är en bas så är detta möjligt om och endast om

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$ (S).

Så de nya vektorerna är en bas omm den enda lösningen till systemet (S) är att

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]$.