4 svar
78 visningar
ah3027al-s behöver inte mer hjälp
ah3027al-s 14
Postad: 6 jan 2019 17:26

Produkt darivatan

Bestäm, för varje värde p˚a konstanten a, antalet reella rötter till ekvationen
x(ln x)^2 = a.

Jag började så med att bestämma derivatan av funktionen och därefter nollställt den vid x=1. Df(x)=(ln x)^2-2ln x.

Använt tecken tabell men fick tyvärr inte rätt i svaret. Frågan är var ifrån fick man 4e^-2??

I facit står alltså:

a < 0 inga rötter
a = 0 1 rot
0 < a < 4e^−2 3 rötter
a = 4e^−2 2 rötter
a > 4e^−2 1 rot

AlvinB 4014
Postad: 6 jan 2019 18:07

Derivatan har två nollställen, x=1x=1 och x=e-2x=e^{-2}.

(ln(x))2+2ln(x)=0(\ln(x))^2+2\ln(x)=0

ln(x)(ln(x)+2)=0\ln(x)(\ln(x)+2)=0

Nollproduktmetoden ger:

ln(x)=0\ln(x)=0

x1=0x_1=0

ln(x)+2=0\ln(x)+2=0

ln(x)=-2\ln(x)=-2

x2=e-2x_2=e^{-2}

Värdena på vänsterledet för dessa punkter är 00 respektive 4e-24e^{-2}. Det intressanta man vill undersöka är när dessa stationära punkter ligger på linjen y=ay=a, vilket händer när a=0a=0 eller när a=4e-2a=4e^{-2}.

ah3027al-s 14
Postad: 6 jan 2019 19:57

Men om ln x = 0 då x = 1 och inte x = 0 eller?

Micimacko 4075
Postad: 6 jan 2019 20:10
ah3027al-s skrev:

Men om ln x = 0 då x = 1 och inte x = 0 eller?

 Ja x kommer vara 1 när ln x är noll, men a hör inte ihop med x utan med y, eller om du kallar det f(x). 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 6 jan 2019 20:36

Logaritmfunktionen är bara definierad för positiva tal, så de enda tal xx som kan komma ifråga som lösningar till ekvationen x·(lnx)2=ax\cdot (\ln x)^2 = a är positiva tal.

Du kräver alltså att x>0x>0 och det medför att talet x·(lnx)2x\cdot (\ln x)^2 också är positivt. Om a<0a<> så är ekvationen därför omöjlig.

När är funktionen f(x)=x(lnx)2f(x) = x(\ln x)^2 (där x>0x>0) växande och när är den avtagande?

Funktionens derivata är

    f'(x)=(lnx)2+2lnx=(1+lnx)2-1f'(x) = (\ln x)^2 + 2\ln x = (1+\ln x)^2-1

vilket visar att funktionen ff är strängt växande när

    (1+\lnx)2>1lnx>0 eller lnx<-2x>1 eller 0<x<e-2(1+\lnx)^2>1\iff \ln x > 0 \text{ eller } \ln x < -2\iff="" x="">1 \text{ eller } 0<><>.

  • På intervallet 1<x<1<><> växer funktionen från f(1)=0f(1) = 0 till \infty och på intervallet 0<x<e-20<><> växer funktionen från --\infty till f(e-2)=4e-2f(e^{-2}) = 4e^{-2}.
  • På intervallet e-2<x<1e^{-2}<><> avtar funktionen från f(e-2)=4e-2f(e^{-2}) = 4e^{-2} till f(1)=0f(1) = 0.
Svara
Close