Produktregeln för derivering av positiva funktioner

Sats. Produkten av två positiva deriverbara reellvärda funktioner $f$ och $g$ är själv en deriverbar funktion och ges av

    $\displaystyle\left(fg\right)^\prime=f^\prime g + g^\prime f.$

Bevis.

Anta att f och g är deriverbara positiva funktioner så att deras logaritmer existerar. Logaritmlag ger

    $\log (fg)(x) = \log f(x) + \log g(x).$

Derivata via Additionsregeln och Kedjeregeln ger

    $\log^\prime(fg)(x) = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}+\frac{g^\prime(x)}{g(x)}$

samt

    $\log^{\prime}(fg)(x) = \frac{(fg)^{\prime}(x)}{(fg)(x)}$,

så att man kan skriva

    $\displaystyle\frac{f^\prime\left(x\right)}{f\left(x\right)}+\frac{g^\prime\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \frac{\left(fg\right)^\prime\left(x\right)}{\left(fg\right)\left(x\right)} \Longleftrightarrow g\left(x\right)f^\prime\left(x\right)+f\left(x\right)g^\prime\left(x\right)=\left(fg\right)^\prime\left(x\right).$