Radien!!!!!

baharsafari skrev:

[...]

höjden är 4 så med 4/3 = 4-x/3 kan man räkna ut x som är lika med radien. 

[...]

Visa din figur där du har ritat de likformiga trianglarna och markerat vad ditt x avser.

Yngve skrev:

baharsafari skrev:

[...]

höjden är 4 så med 4/3 = 4-x/3 kan man räkna ut x som är lika med radien. 

[...]

Visa din figur där du har ritat de likformiga trianglarna och markerat vad ditt x avser.

Varifrån får du längden 2,5? Jag förstår att det är längden från mittpunkten av den längsta sidan till änden av denna sida, men hur kom den in i den här uppgiften?

Smaragdalena skrev:

Varifrån får du längden 2,5? Jag förstår att det är längden från mittpunkten av den längsta sidan till änden av denna sida, men hur kom den in i den här uppgiften?

Det är inte ens frågan, jag undrar varför det blir fel när jag använder mig av likformighet och topptriangelsatsen? 

OK x är radien.

Men i övrigt fattar jag ingenting.

Vilka trianglar menar du är likformiga?

Av det lilla jag förstår är 4 och 3 kateter i den stora rätvinkliga triangeln (halva likbenta triangeln).

Men jag förstår inte vilken triangel som har 4-x och 3 som kateter.

--------------

4-x är däremot hypotenusa i en rätvinklig triangel som har x som kort katet. Den triangeln är likformig med den stora. Se bild.

Yngve skrev:

OK x är radien.

Men i övrigt fattar jag ingenting.

Vilka trianglar menar du är likformiga?

Av det lilla jag förstår är 4 och 3 kateter i den stora rätvinkliga triangeln (halva lilbenta triangeln).

Men jag förstår inte vilken triangel som har 4-x och 3 som kateter.

--------------

4-x är däremot hypotenusa i en rätvinklig triangel som har x som kort katet. Den triangeln är likformig med den stora. Se bild.

kan man inte skriva det så här 4/5= x/4-x   förhållandet mellan hypotenusan och höjden

baharsafari skrev:

kan man inte skriva det så här 4/5= x/4-x alltså  förhållandet mellan hypotenusan och höjden

Nästan.

Men då tar du lång katet (4) genom hypotenusa (5) i ena triangeln och kort katet (x) genom hypotenusa (4-x) i andra triangeln.

Om du istället tar de långa korta kateterna och hypotenusorna i båda trianglarna så ska du se att det blir rätt.

EDIT - rättat skrivfel ovan.

Yngve skrev:

baharsafari skrev:

kan man inte skriva det så här 4/5= x/4-x alltså  förhållandet mellan hypotenusan och höjden

Nästan.

Men då tar du lång katet (4) genom hypotenusa (5) i ena triangeln och kort katet (x) genom hypotenusa (4-x) i andra triangeln.

Om du istället tar de långa kateterna och hypotenusorna i båda trianglarna så ska du se att det blir rätt.

5/4-x = 4/x

Det blir 16 = 9x oavsett hur jag skriver det och x = 1.77777 Vilket jag tror inte är rätt svar om man jämför det men formeln ovan

baharsafari skrev:

5/4-x = 4/x

Det blir 16 = 9x oavsett hur jag skriver det och x = 1.77777 Vilket jag tror inte är rätt svar om man jämför det men formeln ovan

Nej du använder fortfarande fel sidlängder.

Du använder den långa kateten (4) i den stora triangeln och den korta kateten (x) i den lilla triangeln.

Det finns inget likformighetssamband mellan dessa storheter. Du måste använda motsvarande sidlängder i de båda trianglarna.

Välj alltså istället de korta kateterna ur båda trianglarna, dvs x och 3.

(Jag skrev fel tidigare, att du skulle använda de långa kateterna ur båda trianglarna. Jag menade de korta.)

Ibland kan det vara svårt att se vilken sida som är kortare. Man kan titta på vilken placering sidorna har i trianglarna. Här gäller det de kateter som inte angränsar till den vinkel som trianglarna har gemensam. 

Här är en bild som förhoppningsvis förtydligar.

Triangeln ABC är likformig med triangeln AED.

Triangeln ABC har en rät vinkel vid B.

Triangeln AED har en rät vinkel vid E.

Vinkeln vid A är gemensam för de båda trianglarna.

Alltså måste vinkeln vid C i ABC vara lika stor som vinkeln vid D i AEC.

De sidor som motsvarar varandra i de båda trianglarna är de som går mellan motsvarande hörn.

Det betyder att kateten BC i ABC motsvaras av kateten ED i AED.

Det är ofta en bra idé att rita de båda likformiga trianglarna bredvid varandra, vända åt samma håll. När jag försöker hoppa över det steget, snurrar det ibland till sig när jag skall skriva upp vilka sidor som skall vara var i ekvationerna...

Yngve skrev:

Här är en bild som förhoppningsvis förtydligar.

Triangeln ABC är likformig med triangeln AED.

Triangeln ABC har en rät vinkel vid B.

Triangeln AED har en rät vinkel vid E.

Vinkeln vid A är gemensam för de båda trianglarna.

Alltså måste vinkeln vid C i ABC vara lika stor som vinkeln vid D i AEC.

De sidor som motsvarar varandra i de båda trianglarna är de som går mellan motsvarande hörn.

Det betyder att kateten BC i ABC motsvaras av kateten ED i AED.

EC = 3

AE=2

Utnyttjar förhållandet mellan trianglarna BDE och ABC.

$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AC}$

$$\begin{gathered} \frac{2}{r}=\frac{2r+x}{3} \\ 6=2r^2+rx \\ x=\frac{6-2r^2}{r} \end{gathered}$$

Pythagoras:

$$\begin{gathered} {(r+x)}^2=r^2+2^2 \\ {(r+\frac{6}{r}-2r)}^2=r^2+4r^2+6-2r^2+6+\frac{36}{r^2}-12-2r^2-12+4r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}-12+r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}=16 \\ r=\sqrt{\frac{36}{16}} \end{gathered}$$

Yngve skrev:

Här är en bild som förhoppningsvis förtydligar.

Triangeln ABC är likformig med triangeln AED.

Triangeln ABC har en rät vinkel vid B.

Triangeln AED har en rät vinkel vid E.

Vinkeln vid A är gemensam för de båda trianglarna.

Alltså måste vinkeln vid C i ABC vara lika stor som vinkeln vid D i AEC.

De sidor som motsvarar varandra i de båda trianglarna är de som går mellan motsvarande hörn.

Det betyder att kateten BC i ABC motsvaras av kateten ED i AED.

 

 

3/x = 5/4-x ? Det är nog fel men jag tog alltså den stora triangelns korta sida genom den lilla triangelns korta sida och den stora triangelns hypotenusa genom den lilla triangelns hypotenusa

baharsafari skrev:

Yngve skrev:

Här är en bild som förhoppningsvis förtydligar.

Triangeln ABC är likformig med triangeln AED.

Triangeln ABC har en rät vinkel vid B.

Triangeln AED har en rät vinkel vid E.

Vinkeln vid A är gemensam för de båda trianglarna.

Alltså måste vinkeln vid C i ABC vara lika stor som vinkeln vid D i AEC.

De sidor som motsvarar varandra i de båda trianglarna är de som går mellan motsvarande hörn.

Det betyder att kateten BC i ABC motsvaras av kateten ED i AED.

 

 

3/x = 5/4-x ? Det är nog fel men jag tog alltså den stora triangelns korta sida genom den lilla triangelns korta sida och den stora triangelns hypotenusa genom den lilla triangelns hypotenusa

Om du menar 5/(4-x) så är det rätt. 

baharsafari skrev:

3/x = 5/4-x ? Det är nog fel men jag tog alltså den stora triangelns korta sida genom den lilla triangelns korta sida och den stora triangelns hypotenusa genom den lilla triangelns hypotenusa

Nej det är rätt!

Euclid skrev:

Utnyttjar förhållandet mellan trianglarna BDE och ABC.

$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AC}$

$$\begin{gathered} \frac{2}{r}=\frac{2r+x}{3} \\ 6=2r^2+rx \\ x=\frac{6-2r^2}{r} \end{gathered}$$

Pythagoras:

$$\begin{gathered} {(r+x)}^2=r^2+2^2 \\ {(r+\frac{6}{r}-2r)}^2=r^2+4r^2+6-2r^2+6+\frac{36}{r^2}-12-2r^2-12+4r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}-12+r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}=16 \\ r=\sqrt{\frac{36}{16}} \end{gathered}$$

Hur har du kommit fram till 2  och 3? Och är det inte enklare att lösa det så här istället : 3/x = 5/4-x ? Får man extra poäng om man löser ett problem så som du har gjort?

baharsafari skrev:

Euclid skrev:

Utnyttjar förhållandet mellan trianglarna BDE och ABC.

$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AC}$

$$\begin{gathered} \frac{2}{r}=\frac{2r+x}{3} \\ 6=2r^2+rx \\ x=\frac{6-2r^2}{r} \end{gathered}$$

Pythagoras:

$$\begin{gathered} {(r+x)}^2=r^2+2^2 \\ {(r+\frac{6}{r}-2r)}^2=r^2+4r^2+6-2r^2+6+\frac{36}{r^2}-12-2r^2-12+4r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}-12+r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}=16 \\ r=\sqrt{\frac{36}{16}} \end{gathered}$$

Hur har du kommit fram till 2  och 3?

Titta på de trianglar som bildas med den gemensamma hypotenusan i gult:

Euclid skrev:

baharsafari skrev:

Visa föregående citat

Euclid skrev:

Utnyttjar förhållandet mellan trianglarna BDE och ABC.

$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AC}$

$$\begin{gathered} \frac{2}{r}=\frac{2r+x}{3} \\ 6=2r^2+rx \\ x=\frac{6-2r^2}{r} \end{gathered}$$

Pythagoras:

$$\begin{gathered} {(r+x)}^2=r^2+2^2 \\ {(r+\frac{6}{r}-2r)}^2=r^2+4r^2+6-2r^2+6+\frac{36}{r^2}-12-2r^2-12+4r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}-12+r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}=16 \\ r=\sqrt{\frac{36}{16}} \end{gathered}$$

Hur har du kommit fram till 2  och 3?

Titta på de trianglar som bildas med den gemensamma hypotenusan i gult:

 Så baserad på att både trianglarnas bas är r så är höjden  också 3 för både 5-3 = 2

baharsafari skrev:

Euclid skrev:

Visa föregående citat

baharsafari skrev:

Euclid skrev:

Utnyttjar förhållandet mellan trianglarna BDE och ABC.

$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AC}$

$$\begin{gathered} \frac{2}{r}=\frac{2r+x}{3} \\ 6=2r^2+rx \\ x=\frac{6-2r^2}{r} \end{gathered}$$

Pythagoras:

$$\begin{gathered} {(r+x)}^2=r^2+2^2 \\ {(r+\frac{6}{r}-2r)}^2=r^2+4r^2+6-2r^2+6+\frac{36}{r^2}-12-2r^2-12+4r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}-12+r^2=r^2+4 \\ \frac{36}{r^2}=16 \\ r=\sqrt{\frac{36}{16}} \end{gathered}$$

Hur har du kommit fram till 2  och 3?

Titta på de trianglar som bildas med den gemensamma hypotenusan i gult:

 Så baserad på att både trianglarnas bas är r så är höjden  också 3 för både 5-3 = 2

Bra fråga! Om två sidor (ED=DC, AD) är lika så är även den tredje det (AC=AE). 

Edit: Givet att det är en rätvinklig triangel.

baharsafari skrev:

Hur har du kommit fram till 2  och 3? Och är det inte enklare att lösa det så här istället : 3/x = 5/4-x ? Får man extra poäng om man löser ett problem så som du har gjort?

Jo det är enklare att bara använda likformighet som ger sambandet 3/x = 5/(4-x). <-- Observera parenteserna runt nämnaren!

Nej, du borde inte få extra poäng för att du väljer en krångligare lösning. Det brukar vara tvärtom, att extra poäng ges om eleven visar förmåga att välja en bra och enkel lösningsmetod.

När nu problemet är löst med våra gängse metoder, kan det vara kul att se en lösning som bygger på helt andra idéer. Samma problem kom upp en gång i somras. Även då gällde att beräkna radien för den inskrivna cirkeln i en triangel med kända sidor. Så här gick det annorlunda resonemanget:

Om vi ritar ut alla tre bisektriserna i triangeln, från varje hörn till cirkelns medelpunkt,
så får vi tre trianglar som möts i cirkelns medelpunkt
och har lika stora höjder ( $r$ )
och var sin sida av den stora triangeln som bas. 

Deras sammanlagda area kan vi här skriva som:  
     $(5+6+5)·r/2 = 8r$
och den är lika med den stora triangelns area:
      $6·4/2 = 12$
vilket ger
      $r = \frac{12}{8} =\frac{3}{2}= 1,5$

Källa: Inskriven cirkel och formel för densamma
https://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-radius-of-incircle