Räkna Gränsvärde

Beräkna följande gränsvärde:

a) $\to_{x \to 1}^{l i m} \frac{x + 2}{x - 3}$

Mitt svar:

$\frac{1 + 2}{1 - 3} = \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2}$

b) $\to_{x \to 0}^{l i m} \frac{x^{2} + 2 x}{x}$

Mitt svar:

$\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{x}{x^{2}}} = \frac{1 + \frac{2}{x}}{\frac{1}{x}} = \frac{x + 2}{1} \to_{x \to 0}^{l i m} \frac{x + 2}{1} = \frac{0 + 2}{1} = 2$

Här behövde jag göra om funktionen till en enklare version eftersom jag fick fel när jag bara satt in $x \to 0$ på ekvationen.

c) $\to_{x \to 2}^{l i m} \frac{x - 2}{x^{2} - 4}$

Mitt svar:

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{1 - \frac{2}{x}}{x - \frac{4}{x}} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2 - \frac{4}{2}} = \frac{1 - 1}{2 - 2} = \frac{0}{0} = 0$ (svaret på facit är $\frac{1}{4}$ )

Här försökte jag göra samma sak och dividera allt med $x^{2}$ men jag får ändå fel svar. Jag har två problem när det gäller lösandet av liknande uppgifter. Den ena är att jag inte vet när jag behöver göra om själva funktionen till en enklare, det andra är att trots att jag gör om ekvationen så får jag ibland fel ändå. Någon som kan ge tips eller förklara varför jag får fel även om jag gör om ekvationen/funktionen??

Använd konjugatregeln på c, du har att $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ så att nämnaren kan skrivas som $(x+2)(x-2)$ .

Du får förkorta med det uttryck som ger problem (dvs. blir 0). Här är det inte $x$ eller $x^2$ , utan $x-2$ .

Bryan skrev:
Mitt svar:

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \frac{1 - \frac{2}{x}}{x - \frac{4}{x}} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2 - \frac{4}{2}} = \frac{1 - 1}{2 - 2} = \frac{0}{0} = 0$ (svaret på facit är $\frac{1}{4}$ )

Nolldivision är otillåtet även när du har 0 i täljaren, så 0/0 blir ingenting alls, inte 0.

När man ser x^2 och kvadrattal, 1, 4, 9, 16... är det ofta dags för konjugatregeln.

b) och c) kan även lösas med L'Hospitals regel:

$\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \frac{f' (x)}{g' (x)} d å f a l l a v [\frac{0}{0}] e l l e r [\frac{\infty}{\infty}] u p p s t å r . G å r a t t a n v ä n d a u p p r e p a d e g å n g e r s å l ä n g e d e s s a f a l l u p p s t å r$

Så $\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} (x - 2)}{\frac{d}{d x} (x^{2} - 4)} = \lim_{x \to 2} = \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$

Dracaena skrev:
Använd konjugatregeln på c, du har att $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ så att nämnaren kan skrivas som $(x+2)(x-2)$ .

Tack, gjorde det och fick fram rätt svar!

beerger skrev:
När man ser x^2 och kvadrattal, 1, 4, 9, 16... är det ofta dags för konjugatregeln.

Okej! men vid a) så krävde jag inte förenkla funktionen för att ändå få fram rätta svaret. Tycker du att jag ska ändå alltid förenkla funktionen vid liknande uppgifter?

Om x närmar sig ett reellt tal a, och det inte blir divison med 0 då x ersätts med a, då kan du stoppa in a direkt.

Bryan skrev:
beerger skrev:
När man ser x^2 och kvadrattal, 1, 4, 9, 16... är det ofta dags för konjugatregeln.

Okej! men vid a) så krävde jag inte förenkla funktionen för att ändå få fram rätta svaret. Tycker du att jag ska ändå alltid förenkla funktionen vid liknande uppgifter?

I a) så finns inte x² eller ett kvadrattal. $\sqrt{3} ä r i r r a t i o n e l l t$

beerger skrev:
Om x närmar sig ett reellt tal a, och det inte blir divison med 0 då x ersätts med a, då kan du stoppa in a direkt.

Aha okej! Då ska jag tänka på det när jag löser liknande uppgifter. Tack så mycket!

Så låt oss säga att $\to_{x \to 2}^{l i m} \frac{x^{2} + 2}{x^{2}}$ . Denna närmar sig ett reellt tal och så länge $x \neq 0$ (vilket denna inte gör när x->2) så är nämnaren inte lika med 0. Så jag kan bara sätta in 2 i funktionen och få rätta svar??

Yes! Du har förstått precis rätt! Bra jobbat!

beerger skrev:
Yes! Du har förstått precis rätt! Bra jobbat!

Tack så mycket för hjälpen!

Svara Avbryt

Visa senaste svar