Räkna ut arbetet med Stokes för längs triangel

Du skall bara integrera över S₁. Du verkar blanda ihop med Gauss sats. Här är det Stokes som gäller.

Notera att sista komponenten i vektorfältet är x och inte x².

Du kan parametrisera S₁ med x och y.

r(x, y) = (x, y, 1-x-y), där x, y $\ge 0$ och x + y $\le 0$, dvs triangel T i xy-planet.

ndS = $\pm \frac{\partial \mathit{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathit{r}}{\partial y}dxdy$ = (1, 1, 1)dxdy.

$\underset{S_1}{\int }rot\mathit{F}\bullet \mathit{n}dS=\underset{T}{\iint }\left(2\right(1-x-y)-1)dxdy$ = …

PATENTERAMERA skrev:

Du skall bara integrera över S₁. 

Hur ska man tänka då? Varför väljer man exempelvis den sneda ytan som representeras av x+y+z=1?

Du skall räkna ut arbetet längs randen till en triangel med angivna hörn. Dvs du skall räkna ut en linjeintegral längs randen till triangeln S₁. Med Stokes kan du formulera om en linjeintegral längs en sluten randkurva till en ytintegral över en yta som har kurvan som rand. Så i stället för att räkna ut arbetet som en linjeintegral så beräknar du en ytintegral över S₁.

PATENTERAMERA skrev:

Du skall räkna ut arbetet längs randen till en triangel med angivna hörn. Dvs du skall räkna ut en linjeintegral längs randen till triangeln S₁. Med Stokes kan du formulera om en linjeintegral längs en sluten randkurva till en ytintegral över en yta som har kurvan som rand. Så i stället för att räkna ut arbetet som en linjeintegral så beräknar du en ytintegral över S₁.

Okej nu tror jag att jag förstår. Tack så mycket! :)
Om inte annat står så ska vi alltid anta att orienteringen är positiv, dvs att k-värdet till normalen ska vara +1?

Vilken normal du använder beror på i vilken riktning som du utför linjeintegralen. Det finns högerhandsregel för detta. Här så säger man inte i vilken riktning som man skall utvärdera arbetet, så man får välja, men bör då påpeka vad man väljer och tillämpa högerhandsregeln korrekt utifrån det val man gör.

Jag målade en bild till dig som kanske hjälper

PATENTERAMERA skrev:

Du skall bara integrera över S₁. Du verkar blanda ihop med Gauss sats. Här är det Stokes som gäller.

Notera att sista komponenten i vektorfältet är x och inte x².

Du kan parametrisera S₁ med x och y.

r(x, y) = (x, y, 1-x-y), där x, y $\ge 0$ och x + y $\le 0$, dvs triangel T i xy-planet.

ndS = $\pm \frac{\partial \mathit{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathit{r}}{\partial y}dxdy$ = (1, 1, 1)dxdy.

$\underset{S_1}{\int }rot\mathit{F}\bullet \mathit{n}dS=\underset{T}{\iint }\left(2\right(1-x-y)-1)dxdy$ = …

Bara för att försäkra, det ska stå $x+y \leq 1$?

D4NIEL skrev:

Jag målade en bild till dig som kanske hjälper

Tackar. I min bild så trodde jag att det var en prism typ, därav normalerna S₂, S₃ och S₄. Men nu förstår jag att det endast är det räta planet begränsat av kantpunkterna. 

Cien skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Du skall bara integrera över S₁. Du verkar blanda ihop med Gauss sats. Här är det Stokes som gäller.

Notera att sista komponenten i vektorfältet är x och inte x².

Du kan parametrisera S₁ med x och y.

r(x, y) = (x, y, 1-x-y), där x, y $\ge 0$ och x + y $\le 0$, dvs triangel T i xy-planet.

ndS = $\pm \frac{\partial \mathit{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathit{r}}{\partial y}dxdy$ = (1, 1, 1)dxdy.

$\underset{S_1}{\int }rot\mathit{F}\bullet \mathit{n}dS=\underset{T}{\iint }\left(2\right(1-x-y)-1)dxdy$ = …

Bara för att försäkra, det ska stå $x+y \leq 1$?

Ja, precis. 1 skall det vara inte 0.