Räkna ut matrisavbildning utifrån två givna punkters förändring

$A (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} a - 2 b & 2 a + b \\ c - 2 d & 2 c + d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$

Vilket är ekvivalent med dom två ekvationssystemen

$\{\begin{cases} a - 2 b = 1 \\ 2 a + b = 2 \end{cases} \Rightarrow (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) \{\begin{cases} c - 2 d = - 1 \\ 2 c + d = 2 \end{cases} \Rightarrow (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix})$ $\Rightarrow a = 1 b = 0 c = 3 / 5 d = 4 / 5$

Så matrisavbildningen är matrisen $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \end{matrix})$

Är det här rätt sätt att lösa en sån här uppgift på?

Tyvärr är matriserna feltransponerade.

Punkten $(1,2)$ avbildas på $(1,2)$ kan uttryckas med matris-vektor multiplikation på följande sätt:
$A \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$

Punkten $(-2,1)$ avbildas på $(2,-1)$ kan uttryckas med matris-vektor multiplikation på följande sätt:
$A \begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$

Om man nu skriver dessa ihop i en matrisekvation, så blir det:
$A \begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2\\2 & -1\end{pmatrix}$

Därefter kan man fortsätta på exakt samma sätt som du gjort.

(Det finns dock flera möjliga sätt hur man kan fortsätta härifrån... Metoden som du valt funkar dock utmärkt!)

Vektorn $(1,2)$ avbildas på sig själv, så $v_1=(1,2)$ är tydligen en egenvektor med tillhörande egenvärde $\lambda_1=1$ .

Vektorn $(-2,1)$ avbildas på $-1\cdot(-2,1)$ , så $v2=(-2,1)$ är tydligen en egenvektor med tillhörande egenvärde $\lambda_2=-1$ .

Svara