2 svar
73 visningar
bigO är nöjd med hjälpen!
bigO 69
Postad: 12 jul 2019

Räkna ut stångens tvärsnittsarea A(x)

Hej, jag undrar hur man ska lösa den här uppgiften. Jag tänkte först att man gör en ekvation för tyngden av allt nedanför punkten x och sedan dividerar med A(x) för att få spänningen. Då märkte att jag att man får primitiva funktionen av A(x) i täljaren (för att få volymen) och A(x) i nämnaren vilket jag inte vet hur man löser.

Svaret blir A(x)=A0e(x/L) enligt facit.

AlvinB 3319
Postad: 12 jul 2019 Redigerad: 12 jul 2019

Jag vet inte riktigt hur långt du kommit, men det låter som att du kommit fram till att:

σ=FgA(x)=mgA(x)=ρgV(x)A(x)\sigma=\dfrac{F_g}{A(x)}=\dfrac{mg}{A(x)}=\dfrac{\rho gV(x)}{A(x)}

och då σ=ρgL\sigma=\rho gL erhålls:

ρg·L=ρgVxA(x)\cancel{\rho g}\cdot L=\dfrac{\cancel{\rho g}V\left(x\right)}{A(x)}

A(x)·L=V(x)A(x)\cdot L=V(x)

Ax·L=A0·L+0xA d\displaystyle A\left(x\right)\cdot L=A_0\cdot L+\int_0^x A\left(\ell\right)\ d\ell

(jag har \ell som integrationsvariabel för att inte blanda ihop \ell och xx)

Härifrån gäller det att inse att det vi har faktiskt är en differentialekvation! Om vi deriverar båda led med avseende på xx får vi:

A'x·L=AxA'\left(x\right)\cdot L=A\left(x\right)

(derivatan av integralen blir ju A(x)A(x) enligt analysens fundamentalsats)

Kan du lösa denna differentialekvation?

bigO 69
Postad: 12 jul 2019 Redigerad: 12 jul 2019
AlvinB skrev:

Jag vet inte riktigt hur långt du kommit, men det låter som att du kommit fram till att:

σ=FgA(x)=mgA(x)=ρgV(x)A(x)\sigma=\dfrac{F_g}{A(x)}=\dfrac{mg}{A(x)}=\dfrac{\rho gV(x)}{A(x)}

och då σ=ρgL\sigma=\rho gL erhålls:

ρg·L=ρgVxA(x)\cancel{\rho g}\cdot L=\dfrac{\cancel{\rho g}V\left(x\right)}{A(x)}

A(x)·L=V(x)A(x)\cdot L=V(x)

Ax·L=A0·L+0xA d\displaystyle A\left(x\right)\cdot L=A_0\cdot L+\int_0^x A\left(\ell\right)\ d\ell

(jag har \ell som integrationsvariabel för att inte blanda ihop \ell och xx)

Härifrån gäller det att inse att det vi har faktiskt är en differentialekvation! Om vi deriverar båda led med avseende på xx får vi:

A'x·L=AxA'\left(x\right)\cdot L=A\left(x\right)

(derivatan av integralen blir ju A(x)A(x) enligt analysens fundamentalsats)

Kan du lösa denna differentialekvation?

Grymt, tack så mycket! Är lite rostig på diffekvationer men ska försöka

Svara Avbryt
Close