Räkna ut vinkeln hos en triangel inskriven i kvadrat

Kalla kvadratens sida för s. Hur lång är hypotenusan av de rätvinkliga trianglarna? 

nilson99 skrev:

...

Ingen aning om hur jag ska lösa frågan. Det enda jag förstått är att det är en likbent triangel så vinklarna vid A och B hos triangeln AMB är lika.

Bra insikter!

Här är början på ett lösningsförslag:

Dela kvadraten på mitten horisontellt genom att dra en linje från M till E mitt emot.

Yngve skrev:

nilson99 skrev:

...

Ingen aning om hur jag ska lösa frågan. Det enda jag förstått är att det är en likbent triangel så vinklarna vid A och B hos triangeln AMB är lika.

Bra insikter!

Här är början på ett lösningsförslag:

Dela kvadraten på mitten horisontellt genom att dra en linje från M till E mitt emot.

Visa spoiler

Då får du en rätvinklig triangel BME, vars sidlängder är lätta att beräkna.

Då får du enkelt fram ett värde på $\tan(\frac{\alpha}{2})$.

Använd sedan formel för dubbla vinkeln tangens.

Så jag löste ut längden BM med pythagoras vilket är (x*sqrt(5))/2 där x är längden på sidan av kvadraten. Med hjälp av sidornas längder och vinkeln på triangeln löste jag ut sin a och cos a. 

sedan använde jag formeln för halva vinkeln tangens, tan(a/2)=sina/(1+cosa) och fick fram ett värde. Hur ska jag få fram så att jag får tan a? 

nilson99 skrev:

Så jag löste ut längden BM med pythagoras vilket är (x*sqrt(5))/2 där x är längden på sidan av kvadraten. Med hjälp av sidornas längder och vinkeln på triangeln löste jag ut sin a och cos a. 

sedan använde jag formeln för halva vinkeln tangens, tan(a/2)=sina/(1+cosa) och fick fram ett värde. Hur ska jag få fram så att jag får tan a? 

Du behöver inte krångla med hypotenusan BM här.

Eftersom den horisontella linjen genom E och M delar vinkeln $\alpha$ i två så blir vinkeln EMB $\frac{\alpha}{2}$.

Om kvadratens sidlängd är x så har den rätvinkliga triangeln EMB katetlängder $\frac{x}{2}$ och $x$.

Det ger direkt att

$tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{\frac{x}{2}}{x}=\frac{1}{2}$

Sedan kan du använda formeln för dubbla vinkeln tangens för att beräkna $tan(\alpha)$