Random Process: Find the autocorrelation function of the output Y(t) from the LTI system

Hej,

Har egentligen mest problem med integralerna här men är nog lättast att beskriva hela problemet.

Har en Random Process X(t) som är WSS med autokorrelations-funktion: $R_X\left(t\right) =\hspace{0.17em} e^{-a\left|t\right|},$ a positiv konstant, den här är tillämpad som input till ett LTI-system med impulse response: $h\left(t\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{e}^{-bt}u\left(t\right)$, b positiv konstant. Ska hitta output Y(t) autokorrelations-funktion.

För detta vill jag använda mig av den inverterade Fouriertransformationen av Power spectral Density för Y(t), alltså:

$R_Y\left(t\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left|H\right(\omega \left){|}^2{S}_X\right(\omega )e^{j\omega t}d\omega$

Där: $H\left(\omega \right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }h\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$ och Power Spectral Density för X(t) är Fouriertransofrmationen av Autokorrelationen för X(t), vilket alltså blir:

$S_X\left(\omega \right) =\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$.

Så, jag behöver ju beräkna de två komponenterna i integralen för att sen beräkna integralen. Jag har gjort följande hittills:

$S_X\left(\omega \right) =\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X\left(t\right)e^{-j\omega t}dt\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a\left|t\right|}{e}^{-j\omega t}dt\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a\left|t\right|}\left(\cos \right(\omega t) - j\sin (\omega t\left)\right)dt = {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a\left|t\right|}\cos \left(\omega t\right) dt$

$= {\int }_{-\infty }^0{e}^{at}\cos \left(\omega t\right) dt + {\int }_0^{\infty }{e}^{-at}\cos \left(\omega t\right) dt$ , (*)

Här är ju:$\int e^{at}\cos \left(\omega t\right) dt\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\{använder Partialintegration 2 gånger \}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{e}^{at}\sin \left(\omega t\right)\frac{1}{\omega } + \frac{a}{{\omega }^2}{e}^{at}\cos \left(\omega t\right) - \frac{a^2}{{\omega }^2}\int e^{at}\cos \left(\omega t\right) dt$

$<=>(1+\frac{a^2}{{\omega }^2})\int e^{at}\cos \left(\omega t\right) dt\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{e}^{at}\sin \left(\omega t\right)\frac{1}{\omega } + \frac{a}{{\omega }^2}{e}^{at}\cos \left(\omega t\right)\hspace{0.17em}<=>\int e^{at}\cos \left(\omega t\right) dt\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\frac{e^{at}\left(\omega \sin \right(\omega t) + a\cos (\omega t\left)\right)}{{\omega }^2 + a^2}$

 

Alltså blir första ledet i (*):  $= {\int }_{-\infty }^0{e}^{at}\cos \left(\omega t\right) dt \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{e^0\left(\omega \sin \right(0) + a\cos (0\left)\right)}{{\omega }^2 + a^2} - \underset{t\to -\infty }{\lim }\frac{e^{at}\left(\omega \sin \right(\omega t) + a\cos (\omega t\left)\right)}{{\omega }^2 + a^2}$

$=\hspace{0.17em}\frac{a}{{\omega }^2 + a^2}$

Gör jag samma med andra termen får jag samma svar vilket jag iof tror går att se direkt då potensen är negativ men intervallet går åt det positiva hållet. Blev en ganska lång uträkning det här för mig så skriver inte ut allt. Men hittills är nog allt rätt med att:

$S_X\left(\omega \right) =\hspace{0.17em}\frac{2a}{{\omega }^2+a^2}$

Nu behöver jag:

$H\left(\omega \right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }h\left(t\right)e^{-j\omega t}dt\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-bt}u\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$

Här fastnar jag tyvärr. Vet inte riktigt hur jag ska bräcka denna för att komma vidare i min beräkning.

Tack på förhand! :)

Edit:

Ska tillägga att det alltså är den obekanta funktionen u(t) jag inte vet hur jag ska hantera. Jag har försökt samma taktik som ovan och flera andra klassiska verktyg från envariabelanalysen men lyckas inte lösa det.

Enligt facit är det så att: $H\left(\omega \right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }h\left(t\right)e^{-j\omega t}dt\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-bt}u\left(t\right)e^{-j\omega t}dt =\hspace{0.17em}\frac{1}{j\omega +b}$