Rang/dimension

Jag har en matris $A = \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & - 1 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & - 2 & 10 \\ 1 & 3 & - 2 & - 4 & 2 \\ - 1 & - 3 & 2 & 3 & - 1 \end{matrix}$

Jag ställer upp AX = 0 och gauss-eliminerar. Får då tre stycken pivåkolonner: kolonn 1, 2 och 4.
Detta ger alltså rang A = 3 och dimensionen för värderummet blir 3 (R³)

Men, min fråga: hur kan värderummet ha dimension 3 när kolonnerna som faktiskt är i värderummet, d.v.s. (1, 2, 1, -1), (2, 3, 3, -3) och (-1, -2, 4, 3) är i R⁴?

Värderummet är ett underrum till $\mathbb{R}^4$

Ungefär som punktmängden som utgör ett plan kan vara ett 2-dimensionellt underrum i $\mathbb{R}^3$

D4NIEL skrev:
Värderummet är ett underrum till $\mathbb{R}^4$

Ungefär som punktmängden som utgör ett plan kan vara ett 2-dimensionellt underrum i $\mathbb{R}^3$

Jag tror jag förstår! Så det är alltså inte felaktigt tänkt att tre vektorer (1, 2, 1, -1), (2, 3, 3, -3) och (-1, -2, 4, 3) kan vara de kolonner som utgör en bas i värderummet (R3)?

Du har tänkt rätt (förutom det där med att basen skulle utgöra element i $\mathbb{R}^3$ ).

Värderummet spänns av de tre kolonnerna du identifierat. Värderummet är alltså 3-dimensionellt. Men;

De tre kolonnerna spänner ett 3-dimensionellt underrum till $\mathbb{R}^4$ och därmed bara isomorft med $\mathbb{R}^3$

Dina basvektorer som hör till $\mathbb{R}^4$ kan inte utgöra baselement i $\mathbb{R}^3$ .

D4NIEL skrev:
Du har tänkt rätt (förutom det där med att basen skulle utgöra element i $\mathbb{R}^3$ ).

Värderummet spänns av de tre kolonnerna du identifierat. Värderummet är alltså 3-dimensionellt. Men;

De tre kolonnerna spänner ett 3-dimensionellt underrum till $\mathbb{R}^4$ och därmed bara isomorft med $\mathbb{R}^3$

Dina basvektorer som hör till $\mathbb{R}^4$ kan inte utgöra baselement i $\mathbb{R}^3$ .

Tack för hjälpen!

Svara Avbryt

Visa senaste svar