Rätt formel för cylindern inuti konen?

Hej.

Bilden syns inte. Kan du lägga in den igen?

Jaså, den är synlig för mig ifall. Kanske bildlänken fungerar inte för dig, då jag testar med att hämta bilderna från min mapp istället.

Funkar det nu?

Hej.

Nu syns bilden.

Är altså lilla r lika med konens radie minus cylinderns radie?

$8{\mathrm{\pi r}}^2 \mathrm{är} \mathrm{konens} \mathrm{volym}, \mathrm{sedan} \mathrm{subraherat} \mathrm{formeln} \mathrm{för} \mathrm{cylinderns} \mathrm{volym} \mathrm{från} \mathrm{konens} \mathrm{volym}.$

Du ser att den andra termen är en formel för cylinderns volym. Radien och höjden står det vid teckningen av cylindern. Jag minns att det står 24-2r för höjden i faciten, men jag tyvärr inte har min matteboken med mig för närvarande. Så uttryck för radien och höjden bör bli dessa, fast är jag osäker på det. Jag vet inte riktigt om jag bör egentligen subtrahera cylinderns volym från  konens volym, men det antar jag eftersom cylindern ska ligga inuti konen. Går mina tankar åt ett annat håll?

Yngve skrev:

Hej.

Nu syns bilden.

Är altså lilla r lika med konens radie minus cylinderns radie?

Ja, antar jag. Fast låter det konstigt? r bör vara cylinderns radie, tänker jag från början.

Ja.

Annars är det förvirrande.

Men om du kallar skillnaden mellan konens och cylinderns radie x så blir det mindre risk för förvirring.

Ser du då att följande måste gälla?

12/24 = x/h_C, där h_c ör cylinderns höjd?

Det ger dig att h_c = 2x.

Om cylinderns radie nu är r så gäller det tydligen att r = 12-x.

Det är sedan enklare att ta fram.ett uttryck för cylinderns volym och maximera det istället för att ta fram ett uttryck för skillnaden mellan konens och cylinderns volym och, som jag antar, att du sedan skulle minimera det uttrycket?

Du har alltså förväxlat dessa två uttryck:

så är cylinderns höjd 2(12-r), alltså (24-r^2)?

dvs cylinderns volym är (24-r^2)πr^2?

Nej.

• Cylinderns höjd h_C = 2x.
• Cylinderns radie r = 12-x
• Cylinderns volym V(x) = pi•r²•h_c = pi*(12-x)²•2x

Är du med på det?

Ja... det är väl ett uttryck för skillnaden mellan konens och cylinderns volym? Då jag ska minimera det för att få fram den största?

jag har tänkt att skriva om detta till ett uttryck för cylinderns volym:

_rc = 12-x  ->  x=12-r_c

_hc = 2x  ->  h_c =2(12-r_c) = 24-2r_c

_hc*π*r_c^2 = (24-2r_c)*π*r_c^2

Jag kanske har gått långt med det, och det som du skrev är väl bättre.

Jag går vidare med nästa steg med användning av din formel.

Stockis05 skrev:

Ja... det är väl ett uttryck för skillnaden mellan konens och cylinderns volym?

Nej.

• Cylinderns radie är 12-x
• Cylinderns höjd är 2x

Är du verkligen med på att det är så?

f(x)=48πx-4πx²

f'(x)=0

x=6

2(6)*π*(12-6)²=432π cm³

Yngve skrev:

Stockis05 skrev:

Ja... det är väl ett uttryck för skillnaden mellan konens och cylinderns volym?

Nej.

• Cylinderns radie är 12-x
• Cylinderns höjd är 2x

Är du verkligen med på att det är så?

Ja, nu ser jag. Man blir trött i hjärnan av att hålla med matematik i lång tid. dessa är uttryck för radien och höjden och formeln för cylinderns volym blir pi*(12-x)2•2x dvs 48πx-4πx2.

Stockis05 skrev:

f(x)=48πx-4πx²

Vad ör f(x) och hur kommer du fram till det uttrycket?

Yngve skrev:

Stockis05 skrev:

f(x)=48πx-4πx²

Vad ör f(x) och hur kommer du fram till det uttrycket?

Förenklade jag pi*(12-x)2•2x fel? den formeln för volymen som du skrev tidigare. Jag använde geogebra för hitta x-värde för dess maximinpunkt.

Stockis05 skrev:

Ja, nu ser jag. Man blir trött i hjärnan av att hålla med matematik i lång tid. dessa är uttryck för radien och höjden och formeln för cylinderns volym blir (24-2rc)*π*rc^2 dvs 48πx-4πx2.

Nej, varför skriver du om uttrycken?

Titta på bilden. Vilket eller vilka av följande påståenden är du inte med på?

1. Cylinderns radie r_c = 12-x
2. Cylinderns höjd är h_c
3. Likformighet ger att 24/12 = h_c/x, dvs att h_c = 2x
4. Cylinderns volym V_c = pi•r_c²•h_c
5. Det ger oss att V_c(x) = pi•(12-x)²•2x

Ja, det var ett misstag av mig att skriva av det. Jag råkade kopiera det fel uttrycket jag menade "formeln för cylinderns volym blir pi*(12-x)2•2x dvs 48πx-4πx2." som jag har redigerat nyss

Aha, då är det något annatvi behöver reda ut.

Visa hur du kommer från pi•(12-x)²•2x till 48pi•x-4pi•x²

pi•(12-x)2•2x

π(12-x)2•2x

(24π-2πx)•2x

48πx-4πx²

Vänta, nu ser jag. det är en exponent. Det är ett dåligt tillfälligt för mig nu att jobba med matematik

Tvåan efter parentesen är inte en faktor, det är en exponent.

Det står alltså inte $\pi\cdot(12-x)\cdot2\cdot2x$ utan istället $\pi\cdot(12-x)^2\cdot2x$.

Du måste använda andra kvadreringsregeln (a-b)² = a²-2ab+b² när du utvecklar den kvadrerade parentesen.

Nu förstår jag, när jag kopierade din uttryck och klistra in i mitt svar (pi•(12-x)2•2x), exponenten blir en faktor. Det blir bara fel. Ja, jag kan lösa det genom att användning av kvadreringsregeln.

Stockis05 skrev:

Vänta, nu ser jag. det är en potens. Det är ett dåligt tillfälligt för mig nu att jobba med matematik

Om det är ett dåligt tillfälle så bör du pausa.

Gå i så fall ut och ta en promenad eller syssla med ngt annat ett tag.

f(x)=288 π x-48 π x^(2)+2 π x^(3)

f'(x)=0

x₁=4 och x₂ = 12

π(12-4)²*2*4=512π

π(12-12)²*2*12=0

Så är svaret 512π

Jag tar pausen nu vare sig det blir fel eller rätt.

Ja, nu stämmer det!