Rätvinklig triangel

Marx skrev:

Vi betraktar en rätvinklig triangel vars hypotenusa är 8, medan höjden mot den är 5. Vad är arean?

 

Det ska tydligen finnas ett fel i uppgiften! Jag underar vad det kan vara? 

x²+25=64

x²=39

Det bör väll bli +-$\sqrt{39}$ eftersom att det är en andegradsekvation? Kan det vara felet? 

För en sida i en triangel kan inte ha en sida på -6.25

Är det felet?

Är du med på att av alla rätvinkliga trianglar som har hypotenusan 8, så är det den som är likbent som har den största arean?

Jag ser inget fel i uppgiften. Observera att det är höjden som är 5 inte en katet.

Peter skrev:

Jag ser inget fel i uppgiften. Observera att det är höjden som är 5 inte en katet.

Men om höjden i en rätvinklig triangel är 5 bör inte en av sidorna också vara 5 då? Eller är jag ute och cyklar?

Peter skrev:

Jag ser inget fel i uppgiften. Observera att det är höjden som är 5 inte en katet.

Tro mig, det finns ett fel, jag har gått på den stenhårt - tyvärr finns det bevis på det nånstans här på PA. Om en triangel har den längsta sidan 8 och höjden mot denna sida är 5, så kan det inte vara en rätvinklig triangel.

Smaragdalena skrev:

Peter skrev:

Jag ser inget fel i uppgiften. Observera att det är höjden som är 5 inte en katet.

Tro mig, det finns ett fel, jag har gått på den stenhårt - tyvärr finns det bevis på det nånstans här på PA. Om en triangel har den längsta sidan 8 och höjden mot denna sida är 5, så kan det inte vara en rätvinklig triangel.

Varför kan det inte vara en rätvinklig triangel? Om vi får att X= $\sqrt{39}$

så vet vi att 5²+ ($\sqrt{39}$)²=64

25+39=64

Jag ser inget fel i uppgiften?

Är du med på att den rätvinkliga triangel med en viss hypotenusa som har störst area är den som är likbent? Alla andra rätvinkliga  trianglar med andra proportioner men samma hypotenusa har mindre area.

Smaragdalena skrev:

Är du med på att den rätvinkliga triangel med en viss hypotenusa som har störst area är den som är likbent? Alla andra rätvinkliga  trianglar med andra proportioner men samma hypotenusa har mindre area.

Ja, det är jag med på.

Ja, man kan bevisa att en sådan triangel inte finns på riktigt. Eftersom den största arean för en rätvinklig triangel med hypotenusan 8 är 16 där trianglen är likbent med kateterna lika med $\frac{8}{\sqrt{2}}$. 

Men om vi räknar arean med hypotenusan 8 och höjden 5 då blir arean 20 vilket inte kan vara sant, i och med att 20 är större än 16.

Smaragdalena skrev:

Är du med på att den rätvinkliga triangel med en viss hypotenusa som har störst area är den som är likbent? Alla andra rätvinkliga  trianglar med andra proportioner men samma hypotenusa har mindre area.

Nu kom jag på ett annat sätt för att visa att en sådan triangel inte kan finnas i verkligheten. 

Om vi betecknar kateterna med a och b då blir arean (a*b)/2 vilken i sin tur ska vara lika med (5*8)/2 = 20.

Enligt pythagorassats vet vi dessutom att a²+b²=8². Efter förenkling kan vi skriva a beroende av b som $a=\sqrt{64-b^2}$

Nu sätter vi in detta uttryck i formeln för arean och då får vi det till: $b·\sqrt{64-b^2}=40$

Med hjälp av Geogebra så ser vi att det inte finns någon lösning till denna ekvation. Då kan vi dra slutsatsen att en sådan triangel inte kan finnas i verkligheten.

Lurigt!

Peter skrev:

Lurigt!

Hänger du med vad jag gjort?

Man kan använda Thales' sats också.