Reel analys - Oändlig decimalutveckling

Jag har nyligen stött på följande uppgift i boken Infinitesimalkalkyl som lyder: Vilket rationellt tal representeras av $0.8\overline{13}$? Strecket ovanför 13 indikerar att den delen av decimalutvecklingen fortsätter periodiskt. 

 

Jag lyckades att lösa uppgiften, dock så känns mitt svar klumpigt med tanke på att det är just reel analys och dessutom en del av boken där vissa begrepp inte har beskrivits ännu. Hur som helst, jag valde att lösa uppgiften på följande sätt:

$0.8\overline{13}=0.8131313\cdots$ Givet ett ickenegativt heltal $a_0$ och $n$ tal $a_1,a_2, \dots , a_n$ som alla tillhör mängden $\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}$ så kan vi beskriva talet som $a_0.a_1{a}_2 \cdots a_n$ för det rationella talet

$a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+ \cdots + \frac{a_n}{{10}^n}$

Således om vi observerar decimalutvecklingen av $0.8\overline{13}$ så ser vi att för alla $a_k$ där $k>1$ så kommer talet antingen vara $1$ eller $3$ beroende på vad talet $k$ är. Man kan rätt så enkelt se att om $k$ är jämnt så blir talet $1$, annars om det är udda blir det $3$.

Därmed valde jag att lösa problemet genom att tillämpa gränsvärden samt geometriska summor där det rationella talet kan beskrivas med:

$0.8\overline{13}=0+\frac{8}{10}+\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\left(\sum _{k=0}^x\frac{1}{{10}^{2k}}\right)-1+\left(\sum _{k=0}^x\frac{3}{{10}^{2k+1}}\right)-\frac{3}{10}\right)$ vilket enkelt kan omskrivas till

$0.8\overline{13}=0+\frac{8}{10}+\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\left(\sum _{k=0}^x{\left(\frac{1}{100}\right)}^k\right)+\frac{3}{10}·\left(\sum _{k=0}^x{\left(\frac{1}{100}\right)}^k\right)-\frac{13}{10}\right)$ där summan kan brytas ut

$0.8\overline{13}=0+\frac{8}{10}+\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\left(\sum _{k=0}^x{\left(\frac{1}{100}\right)}^k\right)·\frac{13}{10}-\frac{13}{10}\right)$ och därmed enkelt lösas genom geometrisk summa och räkneregler för gränsvärden

Således $0.8\overline{13}=\frac{161}{198}$

Dock så undrar jag om detta verkligen är det mest optimala sättet att lösa problemet? Finns det något annat sätt att resonera sig fram till svaret genom analys och tillämpning av axiom eller liknande som gör beräkning enklare?

Tack på förhand!

Mvh Jack