Reell analys: konvergens av en funktionsföljd vs serie av samma följd

Hej!

Om $\sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n(x)$ konvergerar så gäller det att följden $\{f_n\}$ konvergerar punktvis mot noll. Följden konvergerar dock inte nödvändigtvis likformigt. Ett motexempel kan fås genom att sätta $f_n(x)=x^n$. Då får vi den geometriska serien $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$ som ju konvergerar för $x \in (0,1)$ men funktionsföljden $f_n(x)=x^n$ konvergerar inte likformigt i $(0,1)$.

Konvergens av en funktionsföljd $\{f_n\}$ implicerar inte konvergens av serien $\sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n(x)$. Vi kan återigen ta $f_n(x)=x^n$ som motexempel. Denna följd konvergerar t.ex. i punkten $x=1$ men funktionsserien i samma punkt, $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 1^n$, divergerar.

EDIT: Kan även tilläggas att likformig konvergens av $\sum\limits_{n=0}^{\infty} f_n(x)$ på någon mängd medför att $\{f_n\}$ konvergerar likformigt mot noll på samma mängd.

Edit:Onödigt inlägg, missade editen ovan.