Reella lösningar till ekvation

Börja med att dividera bägge sidor med 20.

Då får du $x^3$ ensamt i vänsterledet.

Fundera sedan på vilket/vilka tal som, upphöjt till 3, blir lika med det som står i högerledet.

Jag gjorde så faktiskt, det blev: x^3 = 27

jag tänkte då att 3 måste vara en av lösningarna då 3^3 = 27 

men vidare kunde jag inte komma :/

Ja, x = 3 är en lösning. Det finns även två andra lösningar, men de är komplexa tal. Känner du till komplexa tal?

Ja det känner jag till, de behöver jag inte ta med i denna uppgift då det sökes endast reella lösningar. Men ifall alla lösningar var relevanta, hur skulle man få de resterande två lösningarna? 

Då kan du skriva 27 som ett komplext tal på polär form och sedan använda de Moivres formel för att bestämma alla tre lösningarna.

Hur skriver jag 27 i polär form? man vill ju ha formen z = a + bi för att skriva det i polär form jag är inte helt säker på hur det fungerar?

a=27

b = 0

Ture skrev:

a=27

b = 0

Jag hänger inte med :/

Yngve skrev:

Då kan du skriva 27 som ett komplext tal på polär form och sedan använda de Moivres formel för att bestämma alla tre lösningarna.

Hur skriver jag 27 i polär form? man vill ju ha formen z = a + bi för att skriva det i polär form jag är inte helt säker på hur det fungerar?

Ja om du vill kan du utgå från z = a + bi.

Vi vill ha att z = 27, vilket innebär att a = 27 och b = 0, dvs 27 = 27 + 0*i.

Dvs realdelen (a) av 27 är 27 och imaginärdelen (b) av 27 är 0.

-------

I (trigonometrisk) polär form:

$27=27\cdot(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$

Alternativt i exponentiell (polär) form:

$27=27\cdot e^{i\cdot0}$

Yngve skrev:

Ja om du vill kan du utgå från z = a + bi.

Vi vill ha att z = 27, vilket innebär att a = 27 och b = 0, dvs 27 = 27 + 0*i.

Dvs realdelen (a) av 27 är 27 och imaginärdelen (b) av 27 är 0.

-------

I (trigonometrisk) polär form:

$27=27\cdot(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$

Alternativt i exponentiell (polär) form:

$27=27\cdot e^{i\cdot0}$

Förlåt det är lite oklart för mig, när jag skrivit uttrycket i polär form: 27 = 27 * (cos(0) + i * sin (0)), om jag ska skriva alla lösningarna till ekvationen 20* x^3 = 540 har jag först x1 = 3 men hur skriver jag in resterande två rötterna på samma form? alltså vad blir då x2 och x3 för ekvationen?

Skriv $x$ som ett komplext tal på polär form, dvs $x=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$.

Då blir $x^3=r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))$.

Ekvationen kan då skrivas

$r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))=27(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$

Lös den ekvationen så får du fram alla möjliga värden på $r$ och $v$, vilket ger dig alla möjliga lösningar $x$.

Yngve skrev:

Skriv $x$ som ett komplext tal på polär form, dvs $x=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$.

Då blir $x^3=r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))$.

Ekvationen kan då skrivas

$r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))=27(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$

Lös den ekvationen så får du fram alla möjliga värden på $r$ och $v$, vilket ger dig alla möjliga lösningar $x$.

så: r kan endast vara 3 alltså är ena lösningen x1 = 3

3v = 0 alltså kan v bara vara 0 och detta ger x2 = 0 dock saknas då en lösning för x3, var har jag tänkt fel?

( obs. x2 betyder rot nummer 2 och inte x*2)

Du har rätt i att $r$ endast kan ha värdet 3. Men eftersom $x=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$ så räcker inte detta utan du måste även bestämma $v$ för att bestämma $x$.

För $v$ så gäller att ekvationen $\cos(3v)=\cos(0)$ har flera lösningar, nämligen $3v=0+n\cdot2\pi$.

(Samma sak för sinusdelen)

Yngve skrev:

Du har rätt i att $r$ endast kan ha värdet 3. Men eftersom $x=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$ så räcker inte detta utan du måste även bestämma $v$ för att bestämma $x$.

För $v$ så gäller att ekvationen $\cos(3v)=\cos(0)$ har flera lösningar, nämligen $3v=0+n\cdot2\pi$.

(Samma sak för sinusdelen)

men varför spelar perioden roll för 3v? den går ju i cirklar och hamnar alltid på samma ställe. alltså kommer ju v alltid att bli 0 för att cos(3v) ska vara = cos(0) så varför tar man hänsyn till flera lösningar när alla ska resultera i 0 ändå? och om det alltid blir 0 både på cosinusdelen och sinusdelen så kommer då de två eftersökta rötterna hamna på noll hela tiden. jag hänger inte riktigt med. när men ska ange icke-reela rötter, som är de resterande två rötterna då den första är 3, i vilken form ska man skriva de? 

Sar_ah skrev:

men varför spelar perioden roll för 3v? den går ju i cirklar och hamnar alltid på samma ställe. alltså kommer ju v alltid att bli 0 för att cos(3v) ska vara = cos(0) så varför tar man hänsyn till flera lösningar när alla ska resultera i 0 ändå? och om det alltid blir 0 både på cosinusdelen och sinusdelen så kommer då de två eftersökta rötterna hamna på noll hela tiden. jag hänger inte riktigt med. när men ska ange icke-reela rötter, som är de resterande två rötterna då den första är 3, i vilken form ska man skriva de? 

Perioden spelar roll. Det stämmer att $3v$ alltid hamnar på "samma" ställe, dvs vid $3v=0+n\cdot2\pi$, men det betyder inte att $v$ måste vara  lika med 0.

Här är orsaken:

Eftersom $cos(0)=1$ så kan ekvationen $cos(3v)=cos(0)$ skrivas $cos(3v)=1$.

Eftersom perioden för cosinus är $2\pi$ så har den ekvationen lösningarna $3v=0+n\cdot2\pi$, dvs $3v=n\cdot2\pi$, dvs $v=n\cdot\frac{2\pi}{3}$.

Av alla dessa lösningar finns följande tre i intervallet $0\leq v<2\pi$:

• $v_1=0$ (för $n=0$)
• $v_2=\frac{2\pi}{3}$ (för $n=1$)
• $v_3=\frac{4\pi}{3}$ (för $n=2$)

Pröva själv!

• Om $v=0$ så är $3v=3\cdot0=0$. Då är $\cos(3v)=\cos(0)=1$. Det stämmer.
• Om $v=\frac{2\pi}{3}$ så är $3v=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$. Då är $\cos(3v)=\cos(2\pi)=1$. Det stämmer.
• Om $v=\frac{4\pi}{3}$ så är $3v=3\cdot\frac{4\pi}{3}=4\pi$. Då är $\cos(3v)=\cos(4\pi)=1$. Det stämmer.

Yngve skrev:

Sar_ah skrev:

men varför spelar perioden roll för 3v? den går ju i cirklar och hamnar alltid på samma ställe. alltså kommer ju v alltid att bli 0 för att cos(3v) ska vara = cos(0) så varför tar man hänsyn till flera lösningar när alla ska resultera i 0 ändå? och om det alltid blir 0 både på cosinusdelen och sinusdelen så kommer då de två eftersökta rötterna hamna på noll hela tiden. jag hänger inte riktigt med. när men ska ange icke-reela rötter, som är de resterande två rötterna då den första är 3, i vilken form ska man skriva de? 

Perioden spelar roll. Det stämmer att $3v$ alltid hamnar på "samma" ställe, dvs vid $3v=0+n\cdot2\pi$, men det betyder inte att $v$ måste vara  lika med 0.

Här är orsaken:

Eftersom $cos(0)=1$ så kan ekvationen $cos(3v)=cos(0)$ skrivas $cos(3v)=1$.

Eftersom perioden för cosinus är $2\pi$ så har den ekvationen lösningarna $3v=0+n\cdot2\pi$, dvs $3v=n\cdot2\pi$, dvs $v=n\cdot\frac{2\pi}{3}$.

Av alla dessa lösningar finns följande tre i intervallet $0\leq v<2\pi$:

• $v_1=0$ (för $n=0$)
• $v_2=\frac{2\pi}{3}$ (för $n=1$)
• $v_3=\frac{4\pi}{3}$ (för $n=2$)

Pröva själv!

• Om $v=0$ så är $3v=3\cdot0=0$. Då är $\cos(3v)=\cos(0)=1$. Det stämmer.
• Om $v=\frac{2\pi}{3}$ så är $3v=3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$. Då är $\cos(3v)=\cos(2\pi)=1$. Det stämmer.
• Om $v=\frac{4\pi}{3}$ så är $3v=3\cdot\frac{4\pi}{3}=4\pi$. Då är $\cos(3v)=\cos(4\pi)=1$. Det stämmer.

tack så mycket för hjälpen!