27 svar

351 visningar

Marx är nöjd med hjälpen

Rekursiv talföljd

Ellinor har åtagit sig att baka till ett födelsedagskalas hos sin virriga kompis. Hon använder sig av två tomma förpackningar på 2 och 5 dl som kan användas som måttskopor.

Till en sats muffinssmet behövs 25 dl vetemjöl. Ställ upp en rekursiv följd som ger antalet sätt att skopa upp n dl mjöl.

Så här har jag tänkt:

Om n=0 då: $a_{0} = 1$

Om n=25, har vi då:

$a_{25} = 68$

Om n=50, så kan vi visa på samma sätt som när n=25 att antalet möjliga sätt blir:

$a_{50} = 1 + 1287 + 8008 + 3876 + 231 + 1 = 13404$

osv!

Då blir talföljden 1, 68, 13404, ...

Den här talföljden ser väldigt märkligt ut! Kan ni hjälpa mig med hur jag ska tänka härifrån?

Menar man alla olika ordningar också, eller bara hur många 2:or och hur många 5:or som behövs?

Laguna skrev:
Menar man alla olika ordningar också, eller bara hur många 2:or och hur många 5:or som behövs?

Bara 2:or och 5:or

Då förstår jag inte dina tal. För n = 25 blir svaret 3 i så fall.

Laguna skrev:
Då förstår jag inte dina tal. För n = 25 blir svaret 3 i så fall.

Räkna med att t.ex. 5+5+5+2+2+2+...+2 är olika jämfört med 5+5+2+5+2+2+...+2, osv...

Det var det jag menade med ordningen.

Varför går du direkt från 0 till 25? Vad händer med n = 1, 2, 3 osv?

Laguna skrev:
Det var det jag menade med ordningen.

Varför går du direkt från 0 till 25? Vad händer med n = 1, 2, 3 osv?

Det går 25 dl mjöl åt en sats miffinssmet. Då tänker jag att n ska vara multiplar av 25.

Uppgiften är ju detta: "Ställ upp en rekursiv följd som ger antalet sätt att skopa upp n dl mjöl."

När det är gjort ska man nog fortsätta genom att använda den följden för att räkna ut antalet sätt för just n = 25.

(Och då kan du verifiera att den stämmer, för du har redan räknat ut det talet på ett annat sätt.)

Laguna skrev:
Uppgiften är ju detta: "Ställ upp en rekursiv följd som ger antalet sätt att skopa upp n dl mjöl."

När det är gjort ska man nog fortsätta genom att använda den följden för att räkna ut antalet sätt för just n = 25.

(Och då kan du verifiera att den stämmer, för du har redan räknat ut det talet på ett annat sätt.)

Okej! Men då får jag en sån talföljd(de första 26 elementen):

0,1,0,1,1,1,2,1,3,2,0,4,0,7,7,11,11,16,18,23,30,34,45,52,68,81,...

Om man använder sig av 2 och 5 dl förpackningarna förstås!

11 kan du få som 2+2+2+5 t.ex. så det ska inte vara 0 där.

Du ska hitta en rekursiv formel för a_n, som är antalet sätt att skopa upp n dl, dvs. ett uttryck som använder de tidigare talen (inte nödvändigtvis alla).

Laguna skrev:
11 kan du få som 2+2+2+5 t.ex. så det ska inte vara 0 där.

Du ska hitta en rekursiv formel för a_n, som är antalet sätt att skopa upp n dl, dvs. ett uttryck som använder de tidigare talen (inte nödvändigtvis alla).

Oj oj! Det är sant!

Ska försöka ....

Laguna skrev:
11 kan du få som 2+2+2+5 t.ex. så det ska inte vara 0 där.

Du ska hitta en rekursiv formel för a_n, som är antalet sätt att skopa upp n dl, dvs. ett uttryck som använder de tidigare talen (inte nödvändigtvis alla).

Nu har jag rättat till de element som inte stämmde men det ser fortfarande märkligt ut:

0,1,0,1,1,1,2,1,3,2,0,4,4,5,7,7,11,11,16,18,23,29,34,45,52,68,81,102,...

Jag förstår att den rekursiva ekvationen kan gälla från ett visst tal och inte nödvändigtvis från första elementet i talföljden.

Nollan en bit in ska inte vara där.

Försök inte se ett mönster i det där (vad är det som är märkligt?) utan fundera på hur följden är definierad. Om du har mätt upp n dl (vilket kan ske på a_n sätt) och sedan tar en skopa till, hur uttrycker du det matematiskt?

Laguna skrev:
Nollan en bit in ska inte vara där.

Försök inte se ett mönster i det där (vad är det som är märkligt?) utan fundera på hur följden är definierad. Om du har mätt upp n dl (vilket kan ske på a_n sätt) och sedan tar en skopa till, hur uttrycker du det matematiskt?

Med en skopa till menar du 1 dl till?

Matemaiskt kan man skriva n+1 dl

Nej, en av skoporna som finns: 2dl eller 5dl.

Laguna skrev:
Nej, en av skoporna som finns: 2dl eller 5dl.

då blir det n+2 eller n+5

Laguna skrev:
Nej, en av skoporna som finns: 2dl eller 5dl.

Så du menar att det blir nånting så här:

$\{\begin{cases} a_{0} = n å g o t \\ a_{n + 2} = n å g o t o c h a_{n + 5} = n å g o t \end{cases}$

Kanske. Om du har kommit fram till 68 möjligheter för n = 25, hur många möjligheter finns det då om du häller upp n = 30 och använder skopan 5 dl sist?

Laguna skrev:
Kanske. Om du har kommit fram till 68 möjligheter för n = 25, hur många möjligheter finns det då om du häller upp n = 30 och använder skopan 5 dl sist?

Då blir det 194 möjligheter...

Hur kommer du fram till det?

Laguna skrev:
Hur kommer du fram till det?

Nu har jag fått fram en formel!!.... Och det fungerar för alla n större eller lika med 6 där n är naturliga tal. Bara en fråga: Får man använda de första 8 elementen, dvs $a_{0}, a_{1}, . . ., a_{7}$ som fasta värden och sen en formel som bygger på tre termer?

Visst får man det. Räcker det inte med fem värden?

Laguna skrev:
Visst får man det. Räcker det inte med fem värden?

Så här ser den ut: $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 6}$

Stämmer den med de tal du har hittat?

Laguna skrev:
Stämmer den med de tal du har hittat?

Ja, det gör den!

Din är nog i stort sett ekvivalent med min: a_n = a_n-2 + a_n-5.

Marx skrev:
Laguna skrev:
Visst får man det. Räcker det inte med fem värden?

Så här ser den ut: $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 6}$

Ett tecken sämmde inte. Så här ska det se ut: $a_{n + 2} = a_{n} + a_{n - 1} - a_{n - 6}$

Laguna skrev:
Din är nog i stort sett ekvivalent med min: a_n = a_n-2 + a_n-5.

Det är sant eftersom $a_{n - 5} = a_{n - 3} - a_{n - 8}$

Svara Avbryt

Visa senaste svar