Relaterad förändringshastighet/sammansatta funktioner

Jag har jobbat med uppgiften: "En klotformad ballong pumpas upp. Då ballongens radie är 25cm ökar dess volym med 1600cm3/s. Hur snabbt ökar dess radie vid detta tillfälle?"

Och jag har kommit fram till följande:

$V\left(r\right)=\frac{4\pi r^3}{3} \to V\text{'}\left(r\right)=4\pi r^2$, alltså att volymen för ett klot är beroende utav radien.

Ballongens volym ökar med tiden enligt V'(t)=1600cm^3/s.

Ballongens radie ökar också med tiden r'(t)= ? , vilket är vad som söks i uppgiften.

Med detta har vi följande:

V'(t)=1600cm3/s →$\frac{dv}{dt}$
V'(r)=4πr² → $\frac{dV}{dr}$
r'(t)=? → $\frac{dr}{dt}$

Sedan har jag förstått det som att man ställer upp det enligt följande:

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}*\frac{dr}{dt}\to 1600=4\pi r^2 *\frac{dr}{dt}$

Som sedan kan omarrangeras så att lösa för dr/dt , med radien 25cm:

$$\begin{gathered} \frac{dr}{dt}=\frac{1600}{4\pi r^2}=\frac{1600}{4\pi *{25}^2} \\ \frac{dr}{dt}=0,204 cm/s \end{gathered}$$

Bekräfta/felmarkera gärna svaret ifall jag räknat fel. Men jag söker även någon förklaring för varför man ställer upp:

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}*\frac{dr}{dt}$ i just denna ordning till att börja med? Vad är anledning till att "Volym med respekt till Tid (dV / dt)" är lika med "dV/dr * dr/dt". Vad hindrar ifrån att ställa upp det enligt $\frac{dV}{dr}=\frac{dV}{dt}*\frac{dr}{dt}$ istället tex? 
Dessutom undrar jag över hur jag skulle lösa/skriva/ställa upp detta problemet enligt strukturen: $y=f\left(g\right(x\left)\right) \to y\text{'}=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right)*g\text{'}\left(x\right)$

Jag tycker jag förstår övergripande hur det funkar, men skulle verkligen uppskatta lite förklaring med ord. Tack!