10 svar
84 visningar
Minounderstand är nöjd med hjälpen!
Minounderstand 115
Postad: 8 aug 2017 Redigerad: 8 aug 2017

relativ felgräns för funktion

Ingen aning hur jag ska tänka här.

Jag vet ju att relativfelet för t.ex. x är rx=x-x~x=0.04, ska jag då lösa ut x, y, z ur relativfelsformeln och sedan stoppa in det i f(x, y, z) för att se hur det beter sig?
Eller ska jag göra någon slags uppskattning med rf=f(x, y, z)-f(x~, y~, z~)f(x, y, z)?

Bubo 593
Postad: 8 aug 2017

x är alltså minst 1.92 och högst 2.08

Kommer du vidare nu?

Albiki 912
Postad: 8 aug 2017

Hej!

Det relativa felet för funktionen f f är lika med kvoten dff. \frac{\text{d}f}{f}. Differentialen df \text{d}f bestäms av funktionens f f partiella derivator.

    Error converting from LaTeX to MathML

De relativa felet för variabeln x x är

    Rel(x)=dxx \text{Rel}(x) = \frac{\text{d}x}{x}

vilket låter dig uttrycka differentialen som

    dx=Rel(x)·x \text{d}x = \text{Rel}(x) \cdot x .

På samma sätt kan de övriga variablernas differentialer uttryckas. Det ger det sökta resultatet:

    Error converting from LaTeX to MathML

Här har jag använt logaritmisk derivering för var och en av de tre variablerna, det vill säga

    fxf=logfx.\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{f} = \frac{\partial \log f}{\partial x}.

För funktionen f(x,y,z)=x2y2z3 f(x,y,z) = x^2y^2z^3 är logf=2logx+2logy+3logz \log f = 2\log x + 2\log y + 3\log z och dess gradientvektor är

    logf=(2x,2y,3z) \nabla \log f = (\frac{2}{x},\frac{2}{y},\frac{3}{z})

vilket ger följande relativa fel.

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Albiki 912
Postad: 8 aug 2017

Hej!

Det relativa felet blir Rel(f)=0.23. \text{Rel}(f) = 0.23.

(Nu ska det väl inte bli Error converting from LaTeX to BlähML.)

Albiki

Albiki 912
Postad: 8 aug 2017

Om det finns någon som bryr sig: För att undvika Error converting from LaTeX to BlähML förhandsgranskade jag varenda formel i mitt ovanstående inlägg. Varje granskning i Wiris-fönstret visade formler som såg acceptabla ut. Vid postning av inlägget kom ovanstående fantastiska resultat fram. 

Jag antar att det är min laptop som är orsaken till detta, och att man vill veta vilken hyperprocessortyp datorn använder, vilket kvasiklockfrekvens den grantihårda disken kör på, hur mycket neurotiskt ramminne jag använder, och andra självklara saker som varje datoranvändare förväntas kunna. Eller kan det möjligen vara kopplat till mantrat som tycks ha adopterats i och med lanseringen av Nya Pluggakuten: Ladorna är tomma! Ladorna är tomma! Ladorna är tomma! (En nickning till de första orden vår finansminister sa vid sitt tillträde.)?

Albiki

Minounderstand 115
Postad: 9 aug 2017

@Bubo

Ja, så mycket förstår jag men jag vet inte hur jag ska använda det för att göra en uppskattning på relativfelgränsen i mitt uttryck. Ska jag sätta typ x=(2±0.08)2 och detsamma för y, z i mitt funktionsuttryck?

 

@Albiki

Är obekant med gradientvektorer, din metod känns en aning överkurs för mig just nu. Var kan jag läsa mer om detta?

Minounderstand 115
Postad: 10 aug 2017 Redigerad: 10 aug 2017

Ursäkta bumpen, men känner att det är onödigt att skapa en ny tråd för ett liknande problem.

Säg att jag har f(x)=x2 som har ett relativfel på 2% och jag vill veta hur felfortplanteringen då blir för mitt funktionsvärde.

Så som jag förstår det blir absolutfelfortplanteringen εyεxf'(x~) men hur kan jag skriva om detta så att det gäller relativfel? Ska jag försöka taylorutveckla runt f(x~εr+1)?

Minounderstand 115
Postad: 12 aug 2017 Redigerad: 12 aug 2017

Förstår nu, tack för hjälpen!

Någon som skulle kunna förklara varför relativa felet ges av rf=ff?

 

Edit:

Gjorde så här:

rf=ff=ddx(x2y2z3)x2y2z3+ddy(x2y2z3)x2y2z3+ddz(x2y2z3)x2y2z3=2xy2z3x2y2z3dx+2yx2z3x2y2z3dy+3z2x2y2x2y2z3dz=2xdx+2ydy+3zdz

och:

dx=x·rx=2·0.04=0.08dy=y·ry=3·0.03=0.09dz=z·rz=4·0.03=0.12

Vilket ger att:

rf=2xdx+2ydy+3zdz=220.08+230.09+340.12=0.23

Minounderstand skrev :

Någon som skulle kunna förklara varför relativa felet ges av rf=ff?

För att det är definitionen av relativt fel.

Minounderstand 115
Postad: 12 aug 2017

Med den notationen framgår det ganska självklart, det har du rätt i.

Albiki 912
Postad: 12 aug 2017 Redigerad: 12 aug 2017

Hej!

När jag använde logaritmisk derivering så hoppades jag att du skulle notera sambandet mellan relativt fel och absolut fel: Det relativa felet hos funktionen f f är samma sak som det absoluta felet hos funktionen logf \log f

    Rel(f)=dff=dlogf \displaystyle \text{Rel}(f)=\frac{\text{d}f}{f} = \text{d}\log f .

Det absoluta felet hos logf \log f ges av dess partiella derivator och de absoluta felen hos funktionens argument. 

    dlogf=k=13xk·logfxkRel(xk) \displaystyle \text{d}\log f = \sum_{k=1}^{3} x_k \cdot \frac{\partial \log f}{\partial x_k} \text{Rel}(x_k) .

Detta visar att om xklogfxk>1 x_k\frac{\partial \log f}{\partial x_k} > 1 så är det viktigt att det relativa felet hos xk x_k är litet för att det relativa felet Rel(f) \text{Rel}(f) ska vara litet. 

Albiki

Svara Avbryt
Close