Relativistisk Energi

Hej! Har en uppgift vars lösningsförslag förvirrar mig:
"En elektron accelereras i ett elektriskt fält. Man önskar beräkna elektronens sluthastighet under förutsättning att dess begynnelsehastighet är noll. Om man använder den klassiska mekanikens formler erhålls resultatet 0,350 Gm/s.
Beräkna det riktiga värdet på sluthastigheten."

Jag tänkte att följande scenario uppstod:
$E_{t o t} = E_{k} + E_{0}$
Först tänkte jag att: $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$ , men detta går inte riktigt ihop i mitt huvud då denna formel gäller klassisk mekanik och från vad jag förstår inte kan tillämpas vid dessa hastigheter.

Då det ovan inte är rimligt tänkte jag så här:
$E_{t o t} = E_{k} + E_{0} \to γ m c^{2} = q V + m c^{2} \to q V = γ m c^{2} - m c^{2} \to q V = m c^{2} (γ - 1)$
Men jag har ju ingen potential som elektronen accelereras av eller rör sig genom, så detta fungerar ju inte heller.

Värt att nämna är att facit, säger att $E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}$ , och använder 0.35Gm/s som V, för att sedan lösa ut den korrekta hastigheten genom formeln för gamma, men blir inte Ek-värdet de använder sig av helt fel, då en hastighet över ljusets används?

Hur fungerar detta?

Det står

Om man använder den klassiska mekanikens formler erhålls resultatet 0,350 Gm/s.

Det står inte att det är rätt. Tvärtom står det (nästan) att det är fel eftersom du ska beräkna det riktiga värdet.

Det som jag gissar att facit gör är att beräkna potentialen utifrån det felaktiga E_k. Det måste ju vara den potentialen som man har använt och det bör vara den "verkliga" potentialen. Därefter använder facit de korrekta formlerna för att få fram de riktiga värdet på E_k.

Peter skrev:
Det står

Om man använder den klassiska mekanikens formler erhålls resultatet 0,350 Gm/s.

Det står inte att det är rätt. Tvärtom står det (nästan) att det är fel eftersom du ska beräkna det riktiga värdet.

Det som jag gissar att facit gör är att beräkna potentialen utifrån det felaktiga E_k. Det måste ju vara den potentialen som man har använt och det bör vara den "verkliga" potentialen. Därefter använder facit de korrekta formlerna för att få fram de riktiga värdet på E_k.

Ja exakt, de använder det felaktiga E_k-värdet enligt bilden nedan (tagit från facit).

Förstår dock inte riktigt hur man kan få ett korrekt värde, genom att använda ett värde som inte stämmer? Om E_k-värdet ör felaktigt, hur kan det vara det då vara "verkliga potentialen"?

Om facit beräknar gamma och därefter v med den formeln så borde det bli fel, tycker jag också.

Jag håller inte med

Om man tillfört energi ( qU ) som omvandlas till rörelseenergi, och sen felaktigt beräknat hastigheten med mv²/2 så är det ändå så att den felaktigt beräknade hastigheten insatt i mv²/2 motsvarar den tillförda energin.

Alltså gäller

mv²_fel/2 = qU = E_k = mc²(gamma-1)

Bra Ture!

Jag fintade bort mig själv i mitt första inlägg där jag skrev att $E_{k}$ är fel. Vi får nog anta att E_k är rätt och att det bara är v som beräknas fel. (Det var något åt det hållet jag menade med att den "verkliga" potentialen kan beräknas (men potentialen behöver man ju inte beräkna som Ture mycket riktigt säger). Det dunkelt sagda (från min sida) är ofta det dunkelt tänkta...)

Jo det var lätt att tänka fel i den här uppgiften. Jag var själv ute och cyklade ett tag innan jag lyckades få ordning på tankarna.

Ture skrev:
Jag håller inte med

Om man tillfört energi ( qU ) som omvandlas till rörelseenergi, och sen felaktigt beräknat hastigheten med mv²/2 så är det ändå så att den felaktigt beräknade hastigheten insatt i mv²/2 motsvarar den tillförda energin.

Alltså gäller

mv²_fel/2 = qU = E_k = mc²(gamma-1)

Jaha juste, missade helt att de måste ha räknat ut V_fel ur ett i alla fall korrekt uppmätt K_e-värde. Tack så mycket!

Svara

Visa senaste svar