8 svar
650 visningar
Erika1267 193
Postad: 15 sep 2019 10:57

Relativt prima

Hej hur kan jag bevisa att 21n+4 och 14n+3 är relativt prima för alla heltal n.

Jag tänkte att 21n+4 = 3(7n+1) +1

och att 14n+3 = 2(7n+1) + 1

jag ser utifrån dessa 2 uttryck att jag inte kan bryta ut någon gemensam faktor. Men är detta ett bevis?

 

//Erika

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 sep 2019 11:03
Erika1267 skrev:

Hej hur kan jag bevisa att 21n+4 och 14n+3 är relativt prima för alla heltal n.

Jag tänkte att 21n+4 = 3(7n+1) +1

och att 14n+3 = 2(7n+1) + 1

jag ser utifrån dessa 2 uttryck att jag inte kan bryta ut någon gemensam faktor. Men är detta ett bevis?

 

//Erika

Nej, det är inget bevis.

Mitt första försök att bevisa detta skulle vara att försöka genomföra ett motsägelsebevis. Vet du hur du skall göra detta?

Erika1267 193
Postad: 15 sep 2019 11:12
Smaragdalena skrev:
Erika1267 skrev:

Hej hur kan jag bevisa att 21n+4 och 14n+3 är relativt prima för alla heltal n.

Jag tänkte att 21n+4 = 3(7n+1) +1

och att 14n+3 = 2(7n+1) + 1

jag ser utifrån dessa 2 uttryck att jag inte kan bryta ut någon gemensam faktor. Men är detta ett bevis?

 

//Erika

Nej, det är inget bevis.

Mitt första försök att bevisa detta skulle vara att försöka genomföra ett motsägelsebevis. Vet du hur du skall göra detta?

Jag vet då att jag ska anta att de två uttrycken inte är relativt prima och att detta leder till en motsägelse. Men jag vet inte riktigt hur jag ska ställa upp det.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 sep 2019 11:19

Just det.

Du skall alltså anta att 21n+4 och 14n+3 har en gemensam faktor och visa att detta leder till en motsägelse. Vill du ha mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!

Erika1267 193
Postad: 15 sep 2019 13:12 Redigerad: 15 sep 2019 13:16
Smaragdalena skrev:

Just det.

Du skall alltså anta att 21n+4 och 14n+3 har en gemensam faktor och visa att detta leder till en motsägelse. Vill du ha mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!

Om jag  utgår ifrån ett motsägelsebevis, dvs att uttrycken har en gemensam faktor:

a|(21n+4) och att a|(14n+3) så måste det medföra att 

a | ((21n+4) + (14n+3)) , där a är ett heltal

Då kan vi uttrycka:  21n + 4 = a x K där K tillhör heltalen och 14n+3 = a x M där M tillhör heltalen

Vi får då att 21n+4 + 14n+3 = aK + aM vilket ger att vi får att 35n+7 = a(K+M). 

Kom inte längre än såhär

parveln 703 – Fd. Medlem
Postad: 15 sep 2019 13:31

Jag tycker det verkar vara svårt att använda ett motsägelsebevis. Som du är inne på i ditt senaste inlägg kan du dock använda att delarna till (a,b) är precis samma som delarna till (a,b+ka) där k är ett heltal.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 sep 2019 13:37

Antag att både A=21n+4 och B=14n+3 är delbara med talet k. I så fall kan de skrivas som ka respektive kb. Om de båda uttrycken är delbara med k måste även uttrycken A+B och A-B vara delbara med k, d v s k(a-b)=7n-1 och k(a+b)=35n+7 skall ha en gemensam faktor. Men 7n-1 och 35n+7 har ingen gemensam faktor, vilket ger en motsägelse. Alltså måste vårt antagade att A och B har en gemensam faktor felaktigt, och de båda talen måste vara relativt prima.

Erika1267 193
Postad: 15 sep 2019 13:47
Smaragdalena skrev:

Antag att både A=21n+4 och B=14n+3 är delbara med talet k. I så fall kan de skrivas som ka respektive kb. Om de båda uttrycken är delbara med k måste även uttrycken A+B och A-B vara delbara med k, d v s k(a-b)=7n-1 och k(a+b)=35n+7 skall ha en gemensam faktor. Men 7n-1 och 35n+7 har ingen gemensam faktor, vilket ger en motsägelse. Alltså måste vårt antagade att A och B har en gemensam faktor felaktigt, och de båda talen måste vara relativt prima.

Ska det inte vara 7n+1?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 sep 2019 14:15
Erika1267 skrev:
Smaragdalena skrev:

Antag att både A=21n+4 och B=14n+3 är delbara med talet k. I så fall kan de skrivas som ka respektive kb. Om de båda uttrycken är delbara med k måste även uttrycken A+B och A-B vara delbara med k, d v s k(a-b)=7n-1 och k(a+b)=35n+7 skall ha en gemensam faktor. Men 7n-1 och 35n+7 har ingen gemensam faktor, vilket ger en motsägelse. Alltså måste vårt antagade att A och B har en gemensam faktor felaktigt, och de båda talen måste vara relativt prima.

Ska det inte vara 7n+1?

Det stämmer, jag skrev fel (och såg inte vad det verkligen stod utan vad jag visste att det egentligen borde stå) men slutsatsen är densamma.

Svara
Close