Rest

Börja med att använda att ${257}^{33}\equiv 7^{33}\equiv 7·7^{32}\equiv 7·{49}^{16}\equiv 7·(-1{)}^{16}\equiv 7 (mod 50)$

Restterm är något annat. Du menar kanske resten täljaren modulo nämnar? 

jag är med på de flesta steg utom det första, hur kommer du från ${257}^{33}$ till $7^{33}$ 257 är ju inte jämt delbart med 7

Nej det stämmer att 257 inte är jämnt delbart med 7. Men det jag använder är att

$257 \equiv 7 (mod 50)$

Vi får alltså resten 7 när vi delar 257 med 50.

okej då är jag med på det talen, sedan sätter jag ihop 7+46 så vi får $\frac{{53}^{127}}{50}$ kan vi då skriva om det till $3^{127\Rightarrow 3\times 3^{126}=3\times 9^{63}}$ men sen är jag inte helt med på hur jag kan få ner exponenten till något mindre tal

Man kan använda kinesiska restsatsen för att förenkla beräkningarna, men jag antar att ni inte gått igenom den ännu. Men ett sätt att göra det lite mer behagligt att beräkna är att använda att

$3*17 \equiv \hspace{0.17em}51 \equiv \hspace{0.17em}1 (mod 50)$

Detta innebär att

$3^{127}\equiv 17·3^{128} (mod 50)$

Nu är

$3^{128}\equiv 9^{64}\equiv {81}^{32}\equiv {31}^{32}\equiv {961}^{16}\equiv {11}^{16}\equiv {121}^8\equiv {21}^8\equiv {441}^4\equiv (-9{)}^4\equiv {81}^2\equiv {31}^2\equiv 11 (mod 50)$

Så man får att

$3^{127}\equiv 17·11\equiv 37 (mod 50)$

Har man lite tålamod så kan man ju beräkna detta med papper och penna.

Om ni har gått igenom Eulers sats så går ju den att använda här också, då $\phi \left(50\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}20$ så följer det att

$3^{127}\equiv 3^{5·20+7}\equiv 3^7\equiv 17·3^8\equiv ...\equiv 37 (mod 50)$

Jag är med på hur du kommer från $3^{128}\Rightarrow 11\left(mod50\right)$

men jag är inte helt med på hur vi går från $3^{127}\Rightarrow 17\times 3^{128}$  och sedan använder 17 i $3^{127}=17\times 11=37$

$3^{127}\equiv 1·3^{127}\equiv [första raden]\equiv 3·17·3^{127}\equiv 17·3^{128}\equiv [det här var du med på]\equiv 17·11=187\equiv 37$