11 svar
73 visningar
mrlill_ludde är nöjd med hjälpen!
mrlill_ludde 682
Postad: 9 apr 2019

Riemann Sphere which corresponds to the point z=u+iv under stereographic projection.

Fråga:"Determine the point on the Riemann Sphere which corresponds z=u+iv to the point under stereographic projection."

Har googlat, men finner ignet bra svar på den här, och står inte alls bra i min kurslitteratur. 

Om ngn kan ge ett allmänt exempel, definition ,eller så. Det jag vet att: (nu skriver jag på engelska)

 

I’m drawing a straight line passing through the point P = (a,b,0) and the north pole
N = (0,0,1) on the Riemann spehere ξ² + η² + ζ² = 1


The vector NP = (a,b,0) - (0.0.1) = (a,b, -1) is parallel to the line,
so the equation for the line can be written


(ξ, η, ζ) = (0,0,1) + t (a,b, -1) = (at,bt, 1-t) ...(*)

Put in the coordinates from (*) in ξ² + η² + ζ² = 1 to determine
t values for the two intersections: ((at)^2,(bt)^2, (1-t)^2)=1


But I how can I find the coordinats?

Laguna 4366
Postad: 9 apr 2019

Jag vet inte på rak arm, men den här artikeln nämner stereografisk projektion också: https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere.

mrlill_ludde 682
Postad: 9 apr 2019
Laguna skrev:

Jag vet inte på rak arm, men den här artikeln nämner stereografisk projektion också: https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere.

 

Då verkade denna intressant.  Men om jag då tar z=a+bi och de står " ζ-coordinates and ξ-coordinates are are obtained by composing one projection with the inverse of the other. They turn out to be ζ = 1/ξ and ξ = 1/ζ, as described above. Thus the unit sphere is diffeomorphic to the Riemann sphere."

Och då ska jag använda denna formel??? 

så då har jag ζ (vad heter denna btw?) , ζ = (a+bi)/(1-z) men vad är z då.  Det kan ju omöjligt va den samma som i uppgiften? eftersom z=a+bi. 

Laguna 4366
Postad: 9 apr 2019

ζ\zeta heter zeta.

Ebola 15
Postad: 9 apr 2019

Har du läst på denna hemsida:

http://mathonline.wikidot.com/the-riemann-sphere

Där har du hursomhelst utvecklingen av resonemanget du förde ovan och resultatet det hade lett till längst ned på sidan. För varje komplext tal z=x+iy finns en motsvarande punkt P=(x1, x2, x3) på Riemannsfären genom stereografisk projektion. Punkten ifråga hittas genom att dra en linje från z till "Nordpolen"; skärningspunkten med sfären blir då punkten P. Koordinaterna blir då:

x1=2x1+z2       x2=2y1+z2       x3=z2-11+z2

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019
Ebola skrev:

Har du läst på denna hemsida:

http://mathonline.wikidot.com/the-riemann-sphere

Där har du hursomhelst utvecklingen av resonemanget du förde ovan och resultatet det hade lett till längst ned på sidan. För varje komplext tal z=x+iy finns en motsvarande punkt P=(x1, x2, x3) på Riemannsfären genom stereografisk projektion. Punkten ifråga hittas genom att dra en linje från z till "Nordpolen"; skärningspunkten med sfären blir då punkten P. Koordinaterna blir då:

x1=2x1+z2       x2=2y1+z2       x3=z2-11+z2

så denna, 

då gör jag : 

 

(1) [(3t)]2+[5t]2+[1-t)]2=1[(3t)]^2+[5t]^2+[1-t)]^2=1 detta blir ju skärningen som jag förstått det. 


som ger mig t=0t = 0 and t=2/35t = 2/35

 

ska jag substituera in dom då i (1)  nääe.

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

Jag tycker du har börjat mycket bra i ditt första inlägg. Vi har ju en punkt PP i det komplexa talplanet motsvarande z=a+biz=a+bi och sedan drar vi en linje genom denna punkt och nordpolen NN på Riemannsfären och söker skärningspunkten AA med Riemannsfären:

Med metoden vi lärde oss i linjär algebra kan vi skriva linjen på parameterform genom att ta en riktningsvektor och en punkt på linjen. I detta fall blir riktningsvektorn PNPN lika med (a,b,0)-(0,0,1)=(a,b,-1)(a,b,0)-(0,0,1)=(a,b,-1) och punkten på linjen kan vi helt enkelt välja som nordpolen N=(0,0,1)N=(0,0,1). Linjen ges alltså på parameterform av:

(ξ,η,ζ)=t(a,b,-1)+(0,0,1)=(at,bt,1-t)(\xi,\eta,\zeta)=t(a,b,-1)+(0,0,1)=(at,bt,1-t)

Nu vill vi alltså ta reda på denna linjes skärningspunkter med Riemannsfären. Detta gör vi genom att sätta in ξ\xi, η\eta och ζ\zeta-värdena i ekvationen:

ξ2+η2+ζ2=1\xi^2+\eta^2+\zeta^2=1

(at)2+(bt)2+(1-t)2=1(at)^2+(bt)^2+(1-t)^2=1

och lösa ut för tt-värdena. När du löst ekvationen kommer du att få fram två tt-värden som kommer ge punkten NN och punkten AA när du stoppar tillbaka dem i parameterformen för linjen.

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Jag tycker du har börjat mycket bra i ditt första inlägg. Vi har ju en punkt PP i det komplexa talplanet motsvarande z=a+biz=a+bi och sedan drar vi en linje genom denna punkt och nordpolen NN på Riemannsfären och söker skärningspunkten AA med Riemannsfären:

Med metoden vi lärde oss i linjär algebra kan vi skriva linjen på parameterform genom att ta en riktningsvektor och en punkt på linjen. I detta fall blir riktningsvektorn PNPN lika med (a,b,0)-(0,0,1)=(a,b,-1)(a,b,0)-(0,0,1)=(a,b,-1) och punkten på linjen kan vi helt enkelt välja som nordpolen N=(0,0,1)N=(0,0,1). Linjen ges alltså på parameterform av:

(ξ,η,ζ)=t(a,b,-1)+(0,0,1)=(at,bt,1-t)(\xi,\eta,\zeta)=t(a,b,-1)+(0,0,1)=(at,bt,1-t)

Nu vill vi alltså ta reda på denna linjes skärningspunkter med Riemannsfären. Detta gör vi genom att sätta in ξ\xi, η\eta och ζ\zeta-värdena i ekvationen:

ξ2+η2+ζ2=1\xi^2+\eta^2+\zeta^2=1

(at)2+(bt)2+(1-t)2=1(at)^2+(bt)^2+(1-t)^2=1

och lösa ut för tt-värdena. När du löst ekvationen kommer du att få fram två tt-värden som kommer ge punkten NN och punkten AA när du stoppar tillbaka dem i parameterformen för linjen.

Jag får ut ett värde då ju, om jag tar exemplet: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3(2%2F25))%5E2%2B(5(2%2F25))%5E2%2B(1-2%2F25)%5E2

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019

Jag vet inte riktigt vad du försöker säga att du får ut. Om du stoppar in a=3a=3 och b=5b=5 får du tt-värdet 2/352/35.

Vad får du för punkt om du stoppar in t=2/35t=2/35 i den parametriserade linjen?

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Jag vet inte riktigt vad du försöker säga att du får ut. Om du stoppar in a=3a=3 och b=5b=5 får du tt-värdet 2/352/35.

Vad får du för punkt om du stoppar in t=2/35t=2/35 i den parametriserade linjen?

Jag får ut ett värde: 

(såg nu att jag skrivit 25 istället för 35) och jag ska (eller, enl bilden) ha 3 st koordinater)

AlvinB 2757
Postad: 14 apr 2019 Redigerad: 14 apr 2019

Jo, men om du gör som jag säger och stoppar in t=2/35t=2/35 i parametriseringen får du en punkt med tre koordinater, precis som du vill ha.

Dessutom bör du vara medveten om att t=0t=0 även är en lösning till ekvationen, men att vi ignorerar den eftersom den motsvarar nordpolen N=(0,0,1)N=(0,0,1).

mrlill_ludde 682
Postad: 14 apr 2019
AlvinB skrev:

Jo, men om du gör som jag säger och stoppar in t=2/35t=2/35 i parametriseringen får du en punkt med tre koordinater, precis som du vill ha.

Dessutom bör du vara medveten om att t=0t=0 även är en lösning till ekvationen, men att vi ignorerar den eftersom den motsvarar nordpolen N=(0,0,1)N=(0,0,1).

jaaaaa sorry, trög!! 

Svara Avbryt
Close