Riemannsumma för n:e element

Beräkna rieman summan på intervallet [1,3] för högra ändpunkten. $f (x) = x^{2}$ . Intervallen delas in n lika långa delintervall och c1 är högra ändpunktenVi vet att intervallet kommer vara $\frac{2}{n}$ så den faktorn för delta x kan vi sätta utanför summa tecknet.

Sedan kan vi titta hur termerna kommer se ut. Först kommer det vara $1 + \frac{2}{n}, 1 + \frac{4}{n}, 1 + \frac{6}{n}$ . Här ser vi att mönster för varje funktionsvärde är $1 + \frac{2 i}{n}$ .

Vi kan skriva generella summan:

$\frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(1 + \frac{2 i}{n})}^{2}$

Men sedan är jag helt vilsen, hur ska jag gå vidare?

Axiom skrev:
Vi kan skriva generella summan:

$\frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(1 + \frac{2 i}{n})}^{2}$

Utveckla parentesens kvadrat, sedan dela upp summan och bryt ut konstanta faktorer:

$\displaystyle \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n {(1 + \frac{2i}{n})^2} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n {(1 + \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2})} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n 1 + \frac{8}{n^2} \sum_{i=1}^n i + \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2$

Det återstår att beräkna de enskilda summorna.

De två första summorna kan hanteras som aritmetiska summor.
Den tredje dock är en annan femma. Känner du till formeln för
$\displaystyle \sum_{i=1}^n i^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + \cdots + n^2=\ldots ?$

Skon klämde för att jag glömt generella formeln för summorna, jag multiplicerade dock inte in 2/n på en gång:

$\frac{2}{n} {(\sum 1 + \frac{4}{n} \sum i + \frac{4}{n^{2}} \sum i^{2})}_{i = 1}^{n}$ ps.orkar inte skriva indexen på varje så låtsas att de är där

1:a summan: n

2:a: $\frac{n (n + 1)}{2}$

3:e: $\frac{n (n + 1) (2 n + 1) }{6}$

Efter lite förkortning får vi då: $\frac{2}{n} (n + 2 (n + 1) + \frac{2 (n + 1) (2 n + 1)}{3 n})$

Detta kan också skrivas som $2 + \frac{4 (n + 1)}{n} + \frac{4 (n + 1) (2 n + 1)}{3 n^{2}}$

Vilket är rätt enligt facit

Svara