12 svar
172 visningar
K.Ivanovitj 296
Postad: 16 jul 2017

Riemannsumma

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med att lösa följande uppgift:

 

Sätt f(x)=xln(1+x). Ange den Riemannsumma Rn till 01f(x)dx man får om man delar in integrationsintervallet i delintervall av längd 1/n och som ξk väljer den högra intervallgränsen i respektive delintervall.

Beräkna även limnRn

 

Ska vi alltså börja med att sätta 01xlnx(1+x)dx och sedan ta fram primitiven till xlnx(1+x) ?

Nej, du skall räkna ut en Riemannsumma, d v s summan av n stycken rektanglar vars area du räknar ut genom att multiplicera bredden Δx=1/n \Delta x = 1/n med y-värdet i högerkanten av vardera rektangeln.

Albiki 1894
Postad: 16 jul 2017

Hej!

En Riemannsumma som approximerar integralen är som följer.

    01f(x)dx1nk=1nf(ξk) , \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,\text{d}x \approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\ ,

där ξk \xi_k är den högra ändpunkten i delintervallet [tk-1,tk] . [t_{k-1},t_{k}]\ . Här är

    0=t0<t1<<tn=1 \displaystyle 0 = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n} = 1

en indelning av intervallet [0,1] [0,1] i lika långa delintervall, vilket ger att

    ξk=kn \xi_{k} = \frac{k}{n}

och Riemannsumman blir

    Rn=1nk=1nf(kn) . \displaystyle R_{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\ .

Albiki

K.Ivanovitj 296
Postad: 16 jul 2017

okej, svaret ska tydligen bli Rn=k=1nknln1+kn×1n och gränsvärdet blir 1/4

Stokastisk 3611
Postad: 16 jul 2017 Redigerad: 16 jul 2017

Vilket du får om du sätter in att f(x) = xln(1 + x) i uttrycket Albiki skrev för R_n.

Sedan får du var uttrycket konvergerar mot genom att beräkna integralen.

Stokastisk skrev :

Vilket du får om du sätter in att f(x) = xln(1 + x) i uttrycket Albiki skrev för R_n.

Sedan får du var uttrycket konvergerar mot genom att beräkna integralen.

Nej, det står inte i uppgiften att man skall beräkna integralen (genom att integrera, alltså) - det stå ratt man skall beräkna gränsvärdet för Riemannsumman när n går mot oändligheten.

Stokastisk 3611
Postad: 16 jul 2017
smaragdalena skrev :
Stokastisk skrev :

Vilket du får om du sätter in att f(x) = xln(1 + x) i uttrycket Albiki skrev för R_n.

Sedan får du var uttrycket konvergerar mot genom att beräkna integralen.

Nej, det står inte i uppgiften att man skall beräkna integralen (genom att integrera, alltså) - det stå ratt man skall beräkna gränsvärdet för Riemannsumman när n går mot oändligheten.

Det är jag fullt medveten om men eftersom

limnRn=01xln(1 + x)dx

så är att beräkna integralen det lättaste sättet att beräkna gränsvärdet på.

TriForce2 77
Postad: 27 feb 2018

Sitter med samma uppgift. Förstår inte riktigt hur man ska beräkna gränsvärdet för R_n som ska bli 1/4.

Testade kasta in integralen i mathematica och fick en ganska lång förklaring som överstiger kunskapsnivån i boken. Det måste finnas något enklare sätt att få fram gränsvärdet.

 limnRn=01xln(1 + x)dx 

pi-streck=en-halv 515
Postad: 27 feb 2018

Tips: Använd partiell integration.

01xln(1+x)dx=[x2ln(1+x)]01-01x21+xdx \int_0^1 x \ln (1+x) dx = [x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} dx

TriForce2 77
Postad: 27 feb 2018 Redigerad: 27 feb 2018
pi-streck=en-halv skrev :

Tips: Använd partiell integration.

Jag får ut 1/2 vilket inte verkar stämma.

01x21+xdx =01x-1+1x+1dx 


[x2ln(1+x)]01-[x22-x+ln(1+x)]01=0.5 [x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - [\frac{x^2}{2}-x+ \ln (1+x) ]_0^1=0.5

pi-streck=en-halv 515
Postad: 27 feb 2018
TriForce2 skrev :
pi-streck=en-halv skrev :

Tips: Använd partiell integration.

Jag får ut 1/2 vilket inte verkar stämma.

01x21+xdx =01x-1+1x+1dx 


[x2ln(1+x)]01-[x22-x+ln(1+x)]01=0.5 [x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - [\frac{x^2}{2}-x+ \ln (1+x) ]_0^1=0.5

Jag glömde att en primitiv till x x är x2/2 x^2 /2

TriForce2 77
Postad: 27 feb 2018 Redigerad: 27 feb 2018

Vi måste ha tänkt fel någånstans.

Integrerar man ursprungliga uttrycket x*ln(1+x) mellan 0 och 1 får man 1/4.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5Bx*Log%5B1+%2B+x%5D,+%7Bx,+0,+1%7D%5D

pi-streck=en-halv 515
Postad: 27 feb 2018 Redigerad: 27 feb 2018

Det blir en fjärdedel om du har med halvan som jag glömde.

12[x2ln(1+x)]01-12[x2/2-x+ln(1+x)]01 \frac{1}{2} [x^2 \ln (1+x) ]_0^1 - \frac{1}{2} [x^2/2 - x + \ln (1+x)]_0^1

Svara Avbryt
Close