6 svar
189 visningar
copenQs är nöjd med hjälpen!
copenQs 2
Postad: 27 sep 2020

Riemensumma envariabelsanalys

Uppgiften handlar om riemensummor dess gränsvärde. Jag har kommit fram till att det är en undersumma som sökes och att "summeringsgränserna" är n och k=1. Någon som har en idé om hur jag kan tänka?

Freewheeling 211
Postad: 27 sep 2020 Redigerad: 27 sep 2020

Vi vill skriva om serien som en integral abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx. En kvalificerad gissning är ju att börja med att identifiera att 1n=Δx\frac{1}{n} = \Delta x är bredden på alla våra ''staplar'' i Riemannsumman. Eftersom vi antar att alla dessa staplar har samma bredd har vi Δx=b-an=1n\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n}b-a=1b-a=1, d.v.s. längden på intervallet vi integrerar över ska vara 1. Om vi nu skriver nk-k2n2=kn-(kn)2\frac{nk - k^2}{n^2} = \frac{k}{n} - (\frac{k}{n})^2 så ser vi att summan vi ska ta gränsvärdet av ser ut enligt (1n-(1n)2)Δx+(2n-(2n)2)Δx++(nn-(nn)2)Δx(\frac{1}{n} - (\frac{1}{n})^2)\Delta x + (\frac{2}{n} - (\frac{2}{n})^2)\Delta x + \dots + (\frac{n}{n} - (\frac{n}{n})^2)\Delta x. Kommer du vidare?

Nox_M 24
Postad: 27 sep 2020

Jag fick 1/6, är svaret korrekt?

Freewheeling 211
Postad: 27 sep 2020

Ja.

copenQs 2
Postad: 28 sep 2020
Freewheeling skrev:

Vi vill skriva om serien som en integral abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx. En kvalificerad gissning är ju att börja med att identifiera att 1n=Δx\frac{1}{n} = \Delta x är bredden på alla våra ''staplar'' i Riemannsumman. Eftersom vi antar att alla dessa staplar har samma bredd har vi Δx=b-an=1n\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n}b-a=1b-a=1, d.v.s. längden på intervallet vi integrerar över ska vara 1. Om vi nu skriver nk-k2n2=kn-(kn)2\frac{nk - k^2}{n^2} = \frac{k}{n} - (\frac{k}{n})^2 så ser vi att summan vi ska ta gränsvärdet av ser ut enligt (1n-(1n)2)Δx+(2n-(2n)2)Δx++(nn-(nn)2)Δx(\frac{1}{n} - (\frac{1}{n})^2)\Delta x + (\frac{2}{n} - (\frac{2}{n})^2)\Delta x + \dots + (\frac{n}{n} - (\frac{n}{n})^2)\Delta x. Kommer du vidare?

Tack så mycket för hjälpen jag förstod nu när jag såg integralen omskriven!

tomast80 3159
Postad: 28 sep 2020

Ett sätt att kontrollera:

k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}

k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Detta ger (ledande termen):

limnn3/2-n3/3n3=limnn3n3·16=\lim_{n\to \infty} \frac{n^3/2-n^3/3}{n^3}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n^3}\cdot \frac{1}{6}=

16\frac{1}{6}

Bernhard Riemann (1826-1866),
"mest känd för att ha formulerat den första rigorösa integralen,
den så kallade Riemannintegralen" och det är inte det enda 
han är berömd för. 
https://sv.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

[kort idéhistorisk notis a propos denna uppgift...]

Svara Avbryt
Close