Riktigt svår uppgift angående kongruensberäkning

Kan du hitta någon enkel formel för de $y$ som uppfyller $y \equiv 0 (\mod n)$ och samtidigt $y \equiv 0 (\mod m)$?

Om du hittat ett sådant $y$, så är $x = y+a$.

x = n*k + a och x = m*l + a där k och l är heltal. 

Då har du två formler där det är oklart vad sambandet mellan k och l skall vara. Du vill dock hitta en gemensam formel.

Om vi går tillbaka till #2:

• y≡0 (mod n) betyder att talet y är delbart med n
• y≡0 (mod m) betyder att talet y är delbart med m

Talet y är alltså delbart med både n och m. Med andra ord är y en gemensam multipel av m och n. Kan du hitta den minsta gemensamma multipeln av m och n (notera att det är givet att sgd(n,m)=1)?

När du hittat den minsta multipeln, kan du hitta alla gemensamma multiplar?

Den minsta gemensamma multipeln av n och m är nm om de är relativt prima. Däremot skriver du att y är kongruent med 0 i båda fallen och i mitt exempel står det a och inte noll.

Bra! Det stämmer att nm är den minsta gemensamma multipeln av m och n. I synnerhet uppfyller det talet att

• nm ≡ 0 (mod n)
• nm ≡ 0 (mod m)

Kan du beskriva alla gemensamma multiplar av n och m m.h.a. någon formel om du redan bestämt den minsta gemensamma multipeln? Formeln för alla gemensamma multiplar är det som jag kallade för y. I #2 skrev jag sedan att

och det är x som sökes i uppgiften.