13 svar

2514 visningar

Sandis är nöjd med hjälpen

Rita Andragradsfunktioner

Hej!

Jag har kört fast på hur man ska rita en andragradsfunktion som innehåller en förstagradsterm.

Efter att ha kollat runt på nätet så får jag det som att grafen flyttas åt höger eller vänster beroende på om det är ett postivt eller negativt värde. Dock förstår jag inte hur detta går till i praktiken.

Exempel från boken:

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1 g (x) = x^{2} + 3 x h (x) = x^{2} + 4 x - 2$

Hej!

Förslår att du skriver om dem medelst kvadratkomplettering till formen:

$f(x) = a+(x-c)^2$

Då kommer kurvan vara symmetrisk kring $x=c$ .

En andragradsfunktion på formen $x^2+px+q$ har sin symmetrilinje vid $x=-\frac{p}{2}$ .

Det ger direkt följande för dina funktioner:

$f(x)$ har sin minimipunkt vid $x=-1$
$g(x)$ har sin minimipunkt vid $x=-1,5$
$h(x)$ har sin minimipunkt vid $x=-2$

En sak du kan föreställa dig är att alla dina exempel är manipulationer av $x^{2}$ . Att addera en nolltegradsterm är enkel att förstå men "addition av en förstagradsterm" kan ses som ett resultat av en kvadreringsregel. Studera ditt andra exempel:

$x^{2} + 3 x = (x + \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$

Du kan testa att utveckla högerledet och verifiera att det stämmer. Detta visar hursomhelst att vi producerade $g (x) = x^{2} + 3 x$ genom att flytta $p (x) = x^{2}$ , 9/4 enheter nedåt och 3/2 enheter till vänster. Vi kan se hur det ser ut i nedan bild:

Ebola skrev:
En sak du kan föreställa dig är att alla dina exempel är manipulationer av $x^{2}$ . Att addera en nolltegradsterm är enkel att förstå men "addition av en förstagradsterm" kan ses som ett resultat av en kvadreringsregel. Studera ditt andra exempel:
$x^{2} + 3 x = (x + \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$
Du kan testa att utveckla högerledet och verifiera att det stämmer. Detta visar hursomhelst att vi producerade $g (x) = x^{2} + 3 x$ genom att flytta $p (x) = x^{2}$ , 9/4 enheter nedåt och 3/2 enheter till vänster. Vi kan se hur det ser ut i nedan bild:

Testade med ett annat polynom:

$4 x^{2} + 2.5 x 2^{2} x^{2} + 2 (2 x) \times 0.625 + 0 . 625^{2} 2^{2} x^{2} + 2 (2 x) \times 0.625 = 4 x^{2} + 2.5 x 4 x^{2} + 2.5 x = (2 x + 0.625)^{2} - 0 . 625^{2} 0 . 625^{2} = (\frac{5}{8})^{2} = \frac{25}{64}$

Dock har jag ingen aning om hur jag ska gå här efter.

Sandis skrev:
Ebola skrev:
En sak du kan föreställa dig är att alla dina exempel är manipulationer av $x^{2}$ . Att addera en nolltegradsterm är enkel att förstå men "addition av en förstagradsterm" kan ses som ett resultat av en kvadreringsregel. Studera ditt andra exempel:
$x^{2} + 3 x = (x + \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$
Du kan testa att utveckla högerledet och verifiera att det stämmer. Detta visar hursomhelst att vi producerade $g (x) = x^{2} + 3 x$ genom att flytta $p (x) = x^{2}$ , 9/4 enheter nedåt och 3/2 enheter till vänster. Vi kan se hur det ser ut i nedan bild:
Testade med ett annat polynom:

$4 x^{2} + 2.5 x 2^{2} x^{2} + 2 (2 x) \times 0.625 + 0 . 625^{2} 2^{2} x^{2} + 2 (2 x) \times 0.625 = 4 x^{2} + 2.5 x 4 x^{2} + 2.5 x = (2 x + 0.625)^{2} - 0 . 625^{2} 0 . 625^{2} = (\frac{5}{8})^{2} = \frac{25}{64}$

Dock har jag ingen aning om hur jag ska gå här efter.

Dock kanske det hade varit bättre att omfromulera frågan då detta kanske inte var det bästa förklaringen på problemet.

Vad är bästa sättet att rita en andragradsfunktion med ett utryck utan att använda "trial and error"?

Vad är bästa sättet att rita en andragradsfunktion med ett utryck utan att använda "trial and error"?

Ta reda på var funktionen har sitt extremvärde och var den har sina nollställen, alternativt gör en värdetabell.

Sandis skrev:
Vad är bästa sättet att rita en andragradsfunktion med ett utryck utan att använda "trial and error"?

Det är så klart subjektivt men bästa sättet tycker jag är med kvadratkomplettering och det är även en metod du lär dig om i Matte 2. Problemet med ditt testpolynom är att du har en faktor framför andragradstermen vilken komplicerar saker i onödan. Således förloras det eleganta hos tekniken i att man måste förstå en i visuell mening komplicerad manipulation av funktioner.

Problemet med att ta fram extrempunkt och nollställen vilket Smaragdalena tipsar om är om andragradsfunktionen inte har några nollställen. Då blir det plötsligt ganska svårt att rita funktionen utan verktyg du lär dig i senare kurser. Betrakta följande funktion:

$f (x) = x^{2} + 2 x + 4$

Denna har inga lösningar för $f (x) = 0$ , det enda vi enkelt kan betrakta är att $f (0) = 4$ . Om vi använder kvadratkomplettering får vi:

$f (x) = (x + 1)^{2} + 3$

Vi har alltså tagit vår grundfunktion $p (x) = x^{2}$ och flyttat den upp 3 enheter följt av att flytta den till vänster 1 enhet.

Man kan alltid hitta x-koordinaten för extremvärdet med hjälp av pq-formeln. Om det inte finns några reella nollställen, så kan man ändå välja två punkter på kurvan som har samma y-koordinat (då ligger x-värdena lika långt från extremvärdet) och använda dessa för att rita andragradskurvan.

Smaragdalena skrev:
Man kan alltid hitta x-koordinaten för extremvärdet med hjälp av pq-formeln. Om det inte finns några reella nollställen, så kan man ändå välja två punkter på kurvan som har samma y-koordinat (då ligger x-värdena lika långt från extremvärdet) och använda dessa för att rita andragradskurvan.

Pq-formeln härleds från kvadratkomplettering och är därmed samma sak.

Ebola skrev:
Smaragdalena skrev:
Man kan alltid hitta x-koordinaten för extremvärdet med hjälp av pq-formeln. Om det inte finns några reella nollställen, så kan man ändå välja två punkter på kurvan som har samma y-koordinat (då ligger x-värdena lika långt från extremvärdet) och använda dessa för att rita andragradskurvan.
Pq-formeln härleds från kvadratkomplettering och är därmed samma sak.

Som sammanfattning kan man då säga att man endast kan göra en osäker gissning på hur grafen kommer se ut när man använder sig av en full andra gradsekvation, om man inte använder sig av matamatiska verktyg?

Sandis skrev:
Ebola skrev:
Smaragdalena skrev:
Man kan alltid hitta x-koordinaten för extremvärdet med hjälp av pq-formeln. Om det inte finns några reella nollställen, så kan man ändå välja två punkter på kurvan som har samma y-koordinat (då ligger x-värdena lika långt från extremvärdet) och använda dessa för att rita andragradskurvan.
Pq-formeln härleds från kvadratkomplettering och är därmed samma sak.
Som sammanfattning kan man då säga att man endast kan göra en osäker gissning på hur grafen kommer se ut när man använder sig av en full andra gradsekvation, om man inte använder sig av matamatiska verktyg?

Om man inte använder sig av en värdetabel. ^

Du kan rita upp en alldeles exakt andragradsfunktion utan krångligare saker än papper och penna.

Om vi har en andragradsfunktion f(x)=ax²+bx+c så vet man att den ser ut ungefär som ett U om a är negativ och som ett uppochnervänt U om a är negativt. Om a har ett stort värde så är det ett smalt U, och om a har ett litet värde så är det ett brett U. Om c=0 så går kurvan genom origo.

Sandis skrev:

Som sammanfattning kan man då säga att man endast kan göra en osäker gissning på hur grafen kommer se ut när man använder sig av en full andra gradsekvation, om man inte använder sig av matamatiska verktyg?

Nej det går att gissa kanska bra ändå. Men lite algebra måste du använda.

Om funktionen är $f(x)=ax^2+bx+c$ så kan du göra på följande sätt för att snabbt grovskissa grafen:

Grafen har sin symmetrilinje vid $x=-\frac{b}{2a}$ . Rita ut den linjen.
Alltså har grafen sitt minimi- (om $a>0$ ) eller maximi- (om $a<0$ ) värde vid $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$ . Markera den punkten.
Grafen skär $y$ -axeln då $x=0$ , dvs i punkten $(0,c)$ . Markera den punkten.
Dra nu en mjukt böjd kurva (parabel) genom extrempunkten och skärningspunkten med $y$ -axeln. Spegla denna kurva på andra sidan symmetrilinjen.

Klart.

Svara Avbryt

Visa senaste svar