Rita följande mängd e) , avgör om mängd är öppen, sluten /begränsad eller kompakt

Hej!

jag körde fast e) och vet inte hur jag ska skriva om så att det blir ett igenkännande uttryck. Sen behöver jag ledtråd i c) för jag förstår inte vad max(|x|,|y|<=1) innebär.

Hej!

Så vad betyder ${(x, y) \in ℝ^{2} : \max (|x|, |y|) \leq 1}$ ? Jo, max är en funktion som väljer det största värdet av (i detta fall) $|x|$ och $|y|$ .

Generellt kan vi säga $m a x (a, b) = \{\begin{cases} a & o m a > b \\ b & o m b > a \end{cases}$ . I vårt fall har vi en begränsning ovanifrån ( $\leq 1$ ). Så det största max(|x|,|y|) kan vara är alltså 1. Det som söks är de talpar/punkter som ligger på/innanför detta område. För att få lite hjälp på vägen så kan vi testa vad max(|-1|,|1|) blir. Jo det blir ju självklart 1, och därmed till hör punkten området. I kontrast kan vi välja max(|1|,|-2|)=2, vilket då motsäger att (1,-2) ligger i området.

Ett tips i detta fall är att försöka hitta de mest extrema punkterna för att kunna dra någon slutsats om hur gränserna ser ut!

När det kommer till e) krävs lite kvadratkomplettering, sen är vi i mål!

Lägger lösningen här under

Visa spoiler

Om vi ordnar om $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5$ genom att lägga x med x och y med y, alltså

$x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y + 5$ . Så ser vi att $x^{2} - 2 x$ nästan ser ut som en kvadrat. Men vi saknar en konstant term, det samma gäller y. Ett typiskt matematiker-knep är att ta bort och lägga till någonting. Detta är vad som görs vid kvadratkomplettering, googla vettja! Här kommer resten i alla fall

$(x^{2} - 2 x + 1) - 1 + (y^{2} + 4 y + 4) - 4 + 5 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 1 - 4 + 5 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2}$

Om vi endast haft en ovan begränsning hade detta blivit en cirkel, men då vi har att detta uttryck är större eller lika med 1 och strängt mindre än 4 får vi en munk-/ringform.

Svara