Rita upp en graf

Jag kan hjälpa till med i) så kommer du förmodligen kunna lösa ut resten själv:

Du hade att $x^2-y^2=1$som du skrev om som $y=\sqrt{x^2-1}$

Det stämmer att alla y som uppfyller det senare uttrycket även uppfyller det föregående, så om du fortsätter att leta värden på det där viset kommer du få fram stora delar av grafen.

Men det finns ett annat förhållande mellan x och y som uppfyller att $x^2-y^2=1$ men som inte kan betecknas $y=\sqrt{x^2-1}$. Detta kan härledas från att då man tar ett tal gånger sig självt så tar man implicit absolutbeloppet av talet.

Förhållandet är att $y=-\sqrt{x^2-1}$. Detta är ett förhållande mellan x och y som uppfyller kriteriet, så om du ritar upp den linjen kommer du få två linjer som utgår från (1,0) och går i två riktningar.

Sedan så bör du även arbeta med negativa tal. x=-1 kommer ge y=0; pröva vad som händer om du tar mer negativa x-värden.

.

Bedinsis skrev:

Jag kan hjälpa till med i) så kommer du förmodligen kunna lösa ut resten själv:

Du hade att $x^2-y^2=1$som du skrev om som $y=\sqrt{x^2-1}$

Det stämmer att alla y som uppfyller det senare uttrycket även uppfyller det föregående, så om du fortsätter att leta värden på det där viset kommer du få fram stora delar av grafen.

Men det finns ett annat förhållande mellan x och y som uppfyller att $x^2-y^2=1$ men som inte kan betecknas $y=\sqrt{x^2-1}$. Detta kan härledas från att då man tar ett tal gånger sig självt så tar man implicit absolutbeloppet av talet.

Förhållandet är att $y=-\sqrt{x^2-1}$. Detta är ett förhållande mellan x och y som uppfyller kriteriet, så om du ritar upp den linjen kommer du få två linjer som utgår från (1,0) och går i två riktningar.

Sedan så bör du även arbeta med negativa tal. x=-1 kommer ge y=0; pröva vad som händer om du tar mer negativa x-värden.

Men tänker att det är ju x (y) i kvadrat, så det blir bara alla positiva heltal där? :S

Sen en annan fråga, jag får att gränserna blir [1,3] och [1,2] och räknar såhär:

Testar även att byta integrand, såhär:

Men rätt svar ska bli 3/2

Det är alltid bra att rita för att få en tydligare bild av problemet, men det är inte alltid det som tar en framåt i lösningen.

Områdets gränser är krångliga när de uttrycks i x och y. Det finns inga raka väggar som begränsar området, så integralen skulle behöva delas upp i flera. Det blir stökigt. Ett alternativ då är att hitta ett variabelbyte, som ger ett enklare område - och faktum är att dina gränser avslöjar hur.

$x^2-y^2$ går från 1 till 2, vilket är vanliga reella tal. Så om ena variabeln är $x^2-y^2$, begränsas området av två raka väggar. På samma sätt går $xy$ från 1 till 3, så om andra variabeln är $xy$ får vi ytterligare ett par av raka väggar. Området motsvaras alltså av en rektangel, om vi använder variablerna

$u = x^2 - y^2\\ v = xy$

Så med dessa variabler blir åtminstone gränserna enkla:

$\int_1^2\int_1^3$

Men för att beräkna integralen behöver man ju också skriva om integranden, så att den faktiskt använder dessa variabler istället för x och y.

Skaft skrev:

Det är alltid bra att rita för att få en tydligare bild av problemet, men det är inte alltid det som tar en framåt i lösningen.

Områdets gränser är krångliga när de uttrycks i x och y. Det finns inga raka väggar som begränsar området, så integralen skulle behöva delas upp i flera. Det blir stökigt. Ett alternativ då är att hitta ett variabelbyte, som ger ett enklare område - och faktum är att dina gränser avslöjar hur.

$x^2-y^2$ går från 1 till 2, vilket är vanliga reella tal. Så om ena variabeln är $x^2-y^2$, begränsas området av två raka väggar. På samma sätt går $xy$ från 1 till 3, så om andra variabeln är $xy$ får vi ytterligare ett par av raka väggar. Området motsvaras alltså av en rektangel, om vi använder variablerna

$u = x^2 - y^2\\ v = xy$

Så med dessa variabler blir åtminstone gränserna enkla:

$\int_1^2\int_1^3$

Men för att beräkna integralen behöver man ju också skriva om integranden, så att den faktiskt använder dessa variabler istället för x och y.

hej, glömde uppdatera webbläsaren, jag skrev en lösning ovan ditt inlägg, men får fel. om du vill titta?

Du vänder på vilken variabel som hör ihop med vilka gränser på slutet. Prova istället:

$\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_1^3\left(\int_1^2 u du\right) dv$

Skaft skrev:

Du vänder på vilken variabel som hör ihop med vilka gränser på slutet. Prova istället:

$\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_1^3\left(\int_1^2 u du\right) dv$

testade ta båda delarna, men fick ändå fel. Men aja då är det väl något slarvfel där. 
Men hur ska man veta vilken man ska börja integrera med?

Det viktiga är inte ordningen, utan att du matchar rätt gränser med rätt variabel. Men du integrerade först u till u^2/2, och sen satte du in gränserna för v (3 och 1) istället för gränserna för u (2 och 1).

Skaft skrev:

Det viktiga är inte ordningen, utan att du matchar rätt gränser med rätt variabel. Men du integrerade först u till u^2/2, och sen satte du in gränserna för v (3 och 1) istället för gränserna för u (2 och 1).

åå jag dumt..

Skaft skrev:

Det viktiga är inte ordningen, utan att du matchar rätt gränser med rätt variabel. Men du integrerade först u till u^2/2, och sen satte du in gränserna för v (3 och 1) istället för gränserna för u (2 och 1).

Skulle man kunna säga att det är detta "varnande exempel" som PB säger?

Nja, det där är ett exempel på när integrationsordningen faktiskt spelar roll. Så är inte fallet i din uppgift. Jag har inte koll på detaljerna där, men jag *tror* att det bara är för generaliserade integraler du behöver vara försiktig med ordningen - någon kunnig får gärna klargöra saken. Hursomhelst var det som sagt inte det som var problemet med din lösning, utan att gränser och variabel inte parades ihop rätt.