RMM-balans innebär att spänningstensorn är symmetrisk - varför?

Jag förstår inte din fråga alls.

Vad förkortningar betyder beror av sammanhang.

En gissning är att du pratar om rörelsemängdsmoment men är väl bäst att skriva det i så fall. Men att du pratar om spänningstensorer får mig att tro att du håller på med jämviktssystem i vilket fall momentjämvikt väl vore rätt ord snarare än balans?

Att skriva ut lite till vore lämpligt.

Det var olyckligt. RMM som rörelsemängdsmoment trodde jag var hyfsat vedertaget, vad hade det annars kunnat handla om när vi talar om spänningstensorer? Är nyfiken. 

Kursen är kontinuummekanik och anledningen till mitt val av ordet "balans" är helt enkelt för att min föreläsare använder det. Begreppen han använder är massbalans (MB), rörelsemängdsbalans (LMB - linear momentum balance) och rörelsemängdmomentsbalans (AMB - angular momentum balance). De svenska uttrycken är hans egna, och är väl förmodligen vad man får förvänta sig när kursen hålls på svenska. 

---

Min fråga handlar om att han skriver att 

$\mathbf{\sigma} = \mathbf{\sigma}^T$,

där $\mathbf{\sigma}$ är Cauchys spänningstensor, måste gälla för att AMB ska gälla. Har du något sätt för att förstå/tolka detta rent intuitivt? Eller tycker du att det är helt naturligt från Newtons lagar?

Transponering är en ganska abstrakt matematisk operation och även om man utvecklat en helt del  intuition om  symmetriska matriser så kan det vara svårt att göra automatiska kopplingar till fysikalisk intuition.

För att rimliggöra en egenskap för sig själv kan det vara användbart att fokusera på konsekvenser av en egenskap snarare än egenskapen själv.  Enligt en sats från linjär algebra så är en matris symmetrisk om och endast om den är ortogonalt diagonaliserbar, dvs om det finns 3 ortogonala riktningar utefter vilka matrisen agera expanderande eller komprimerande men inte ändrar riktningar. (Detta har du nog redan kommit till men jag råder dig alltså att fokusera hårt på just detta)

Vad detta korresponderar mot fysiskt är att det vid varje punkt i en elastisk kropp under spänning finns tre vinkelräta riktningar utefter vilka spänningarna är strikt kompressiva eller strikt uttöjande men inte skjuvande. Det kanska bara är vana med teorin men jag tycker att denna konsekvens är ganska rimligt och vore kontraintuitiv om det inte stämde.

Om jag skulle rimliggöra det så låt oss tänka oss att vi var som i en liten bubbla inuti ett material där omgivande spänningar försöker deformera bubblan. Under spänning så borde jag med tre vinkelräta balkar kunna stabilisera bubblans form utan att behöva låsa balkarna till varandra för att hindra dem från att rotera. Det känns rimligt för mig i alla fall.

Om vi tänker oss en kvadratisk cell istället så representerar spänningstensorn krafterna som verkar på cellens ytor. För en godtyckligt orienterad cell kommer krafterna på ytorna ha riktningar som har komposanter parallella med ytorna och därmed agera skjuvande. Enligt satsen att spänningstensorn är symmetrisk så ska vi dock kunna rotera runt cellen tills vi hittar en orientering där krafterna på ytorna är normala mot ytorna.

Det är 10 år sedan jag tog hållfasthetslära så ta faktapåståendena med lite salt men min förslag är i alla fall att fokusera på geometrisk konsekvenser av att tensorn/matrisen är symmetrisk snarare än att en tabell har samma celler i övre högra och nedre vänstra hörnet som nog aldrig kommer bli intuitivt.

Om man accepterar att AMB ska råda så måste kraftmomenten ta ut varandra för varje cell. Det i sin tur innebär att $\sigma_{yx}=\sigma_{xy}$ osv.

Det jag tyckte var underligt när jag läste grundkursen var att vi kan ha ett totalt moment på kroppen trots ABM, dvs trots att varenda cell i kroppen är i "jämvikt" kan vi ha ett resulterande moment (på kroppen). Och argumentet min föreläsare använde var ungefär att om vi inte håller cellen i jämvikt blir det sammanlagda momentet oändligt eftersom vi har oändligt många små celler.

Edit: Nuförtiden ser jag $\sigma$ mer som ett fält som "bär" momentet, vilket förklarar att varje lokalt element är i momentjämvikt samtidigt som vi kan ha ett globalt nettomoment från randverkan (krafter på ytan till kroppen).

SeriousCephalopod skrev:

Det är 10 år sedan jag tog hållfasthetslära så ta faktapåståendena med lite salt men min förslag är i alla fall att fokusera på geometrisk konsekvenser av att tensorn/matrisen är symmetrisk snarare än att en tabell har samma celler i övre högra och nedre vänstra hörnet som nog aldrig kommer bli intuitivt.

Stort tack för ditt utförliga svar och dina tips. 

D4NIEL skrev:

Edit: Nuförtiden ser jag $\sigma$ mer som ett fält som "bär" momentet, vilket förklarar att varje lokalt element är i momentjämvikt samtidigt som vi kan ha ett globalt nettomoment från randverkan (krafter på ytan till kroppen).

Det är nog så jag ser på det också nu - att det är vad som händer vid randen som påverkar det globala momentet. Varianter av det konceptet tycks dyka upp lite överallt i fysik.