2 svar
411 visningar
Albiki 4228
Postad: 22 sep 2017

Rolles sats

Låt f f vara en icke-konstant reellvärd funktion som är kontinuerlig på det slutna intervallet [a,b] [a,b] och deriverbar på det öppna intervallet (a,b). (a,b). Om f(a)=f(b) f(a) = f(b) så finns det ett tal ( c c ) någonstans mellan a a och b b sådant att derivatan f'(c)=0. f^'(c) = 0.

Albiki 4228
Postad: 22 sep 2017

Bevis av Rolles sats.

Eftersom funktionen f(x) f(x) är kontinuerlig på det slutna (och begränsade) intervallet [a,b] [a,b] så antar funktionen sitt största värde (när x=xM x = x_{M} och sitt minsta värde (när x=xm x = x_m ) på detta intervall.

Både xm x_m och xM x_M ligger i det öppna intervallet (a,b); (a,b); annars skulle funktionen vara konstant. Funktionen är deriverbar i både xm x_m och xM x_M och eftersom dessa är extrempunkter till funktionen så är derivatan noll i båda dessa punkter, vilket skulle bevisas.

JohanB 69
Postad: 24 sep 2017

Varför ligger x_m och x_M båda i öppna intervallet? Detta behöver inte gälla med kraven du ställt.

Slutsatsen du kan dra är att minst en av dem ligger i intervallet. Detta räcker för resten av beviset.

Svara Avbryt
Close